Deje $\mathcal{S}$ ser una colección infinita de una progresión aritmética que se forma una partición de $\mathbb{N}$. Si $|\mathcal{S}|<\infty$ $$\sum_{s\in\mathcal{S}:~d~\mbox{ is the difference of }s}{1/d}=1$$
Es el de arriba correcta al $|\mathcal{S}|=\infty$?
He podido demostrar que la suma es $\leq 1$
La conversión de mi comentario a la respuesta.
Es incorrecto infinito $S$. Considere la siguiente partición de $\mathbb N=\lbrace 0,1,2,\dots\rbrace$. Definir $P_1=4^1\mathbb N, P_2=4^2\mathbb N+1,P_3=4^3\mathbb N+3,P_4=4^4\mathbb N+5,P_5=4^5\mathbb N+6,\dots$ y, más generalmente, $P_k=4^k\mathbb N+m_k$ donde $m_k$ es el entero más pequeño que no en $P_1\cup\dots\cup P_{k-1}$ ( $m_1=0$ .) Por construcción, el $P_k$ cubierta $\mathbb N$, y sigue siendo, para mostrar que ellos no se superponen.
La secuencia de $m_k$ es fácilmente visto, va en aumento. Si $P_a\cap P_b$ eran no-vacío para algunos $a<b$, no sería enteros negativos $r,s$ tal que $m_a+ r4^a=m_b+s4^b=m_b+s4^{b-a}4^a$. Desde $m_a<m_b$, esto implicaría $r>s4^{b-a}$ $m_b=m_a+(r-s4^{b-a})4^a\in P_a$ contradiciendo la definición de $m_b$. Así $$\mathbb N =P_1\sqcup P_2\sqcup P_3\sqcup\cdots$$
Sin embargo, $$\sum_{i\geq 1}\frac{1}{4^i}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1-1/4}=\frac{1}{3}<1.$$
Aquí está una expansión de Olivier de la respuesta. Deje $d_1,d_2,\ldots$ ser una secuencia de enteros de satisfacciones $d_i|d_j$ siempre $i \leq j$ y $$\sum_{i \geq 1} \frac{1}{d_i} \leq 1. \qquad (1)$$ Construimos la cubierta de la secuencia con avidez. El $i$th es $S_i = a_i + d_i \mathbb{N}$ donde $a_i$ es el mínimo número no cubierto hasta ahora (debe ser un número a causa de (1)). Claramente todos los de $\mathbb{N}$ es el tiempo cubierto. En fin a ver que no está cubierto dos veces, supongo que $a_i + d_i x_i = a_j + d_j x_j$ algunos $i < j$. Por construcción, $a_j > a_i$ $a_j - a_i$ es divisible por $d_i$. Pero, a continuación,$a_j$$S_i$.
Deje $x \in (0,1]$. Podemos expandir $x$ en binario para obtener $$ x = \sum_{i \geq 1} 2^{-a_i}. $$ (Si $x$ es diádica, elija la infinita expansión.) Tomando $d_i = 2^{a_i}$, vemos que no es una cubierta donde el lado izquierdo de (1) se evalúa a $x$.
Para completar el cuadro, de Brian argumento muestra que (1) se cumple para cualquier partición, por lo que nuestros resultados son muy ajustados.
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