La creación de una función creciente $g$ dada una función continua $f$, de tal manera que $|f(x)-f(y)| \leq |g(x)-g(y)|$

Question

Dada una función continua $f$ a un intervalo de tiempo, debe existir un continuo aumento de la función $g$ tal que para todos los $x,y$

$$|f(x)-f(y)| \leq |g(x)-g(y)|$$

He tratado de asumir el contrario, que todos los $g$'s fallar por algún par de $x,y$ para llegar a una contradicción, ya que para cada par de $x,y$, hay algunos $g$ que satisface la desigualdad. Asimismo, para un número finito de pares $x,y$ siempre hay un $g$ a satisfacer. Pero no he conseguido, de momento, con que ni usa la continuidad de $f$.

Así que he intentado utilizar la $\varepsilon$-$\delta$ definición en $f$ alrededor de un punto ya que yo podría ser capaz de conectar $g$ a los valores de $\varepsilon$, pero no he encontrado una manera de hacer eso.

En la final, si un $g$ no existe (que yo estoy convencido de algo es cierto), me gustaría encontrar el "mínimo" $g_0$ tal que para todas las satisfacciones $g$'s y $x,y$

$$|g_0(x)-g_0(y)| \leq |g(x)-g(y)|$$

Por ejemplo, $f=x^2$$g_0=x|x|$. Por supuesto, si hay un $g_0$ cualquier $g_0+C$ es otro.

Gracias.

Answer 1

Deje $f:[a, b]\to\mathbb R$ ser una función continua que no es de variación acotada, ver aquí para ver un ejemplo. A continuación, como un $g$ no se encuentra. Para ver esto, supongamos que $$|f(x) - f(y)| \le | g(x) - g(y)|$$ luego, por supuesto, para cualquier $M$, no es una partición de a$a =y_0< y_1 < y_2 < \cdots y_{n-1} < y_n = b$, de modo que

$$\sum_{k=1}^n |f(y_{k}) - f(y_{k-1})| \ge M.$$

En particular,

$$\sum_{k=1}^n |g(y_{k}) - g(y_{k-1})| \ge M.$$

Pero $g$ es inceasing, por lo $g(b) \ge M + g(a)$. Pero $M$ es arbitrario, por lo $g$ no puede ser continua.

Answer 2

Sugerencia.

Considere la función $f : [-1,1] \to \mathbb R$ definido por: $$\begin{cases}f(x) = x \sin \frac{1}{x} \text{ if } x \neq 0\\ f(0)=0\end{casos}$$

Considerando $f$$[-1,0]$, lo que puede ser el valor de $g(0)$?

$f$ es continua, pero no es de variación acotada, que obliga a los potenciales $g$ tomar infinitos valores.