Fractal de Mandelbrot: ¿Cómo es posible?

Question

Yo soy un programador y recientemente han jugado un poco con la representación de fractales de Mandelbrot / zoom en ellos.

Lo que no puedo entender: ¿Cómo puede infinito, formas complejas de salir de algo de 10 líneas de determinista código?

¿Cómo es posible que cuando se hace un acercamiento cada vez más profundo y más profundo, todavía hay formas completamente nuevas que vienen para arriba, mientras que el algoritmo sigue siendo el mismo?

¿El conjunto tal vez nos dé una profunda comprensión de nuestro universo, o incluso otras dimensiones, como se trata de números complejos?

Answer 1

Deje de $m(z,c) = z^2 + c$, considere la secuencia de polinomios: $m(z,z)$, $m(m(z,z),z)$, ... que son z^2+z, z^4 + 2*z^3 + z^2 + z z^8 + 4*z^7 + 6*z^6 + 6*z^5 + 5*z^4 + 2*z^3 + z^2 + z ...

Tenga en cuenta que en términos de números complejos la transformación $z \mapsto m(z,c)$ puede ser visto de una manera de torcer y aplastamiento de la esfera sobre sí mismo.. si sigues amasando algo que están obligados a obtener el rasgado y arrugado filamentos.

Aquí se muestran las gráficas de los primeros siete (producidos por el software aquí):

Answer 2

Como se ha discutido en la página de la Wikipedia, el conjunto de Mandelbrot $M$ no es por definición un objeto dinámico. En lugar de eso es un subconjunto del espacio de parámetros. Es decir, cada punto $c$ de $M$ corresponde a un polinomio cuadrático $f_c(z) = z^2 + c$.

Recordemos que el conjunto Julia $J_c$ para $f_c$ es un objeto dinámico, y esperamos que se auto-similar, es decir, un fractal. Por definición, si $c \in M$ entonces $J_c$ está conectado. Cuando $c \noen M$ el conjunto de Julia es homeomórficos a un conjunto de Cantor. Así que, en cierto sentido, todos estos conjuntos de Julia "el mismo aspecto" y los correspondientes mapas de $f_c$ "tienen una dinámica similar".

Por otro lado, a medida que nos movemos $c$ dentro $M$ encontramos cuadrática mapas de $f_c$ con marcadamente diferentes dinámicas. Por lo tanto, como podemos cambiar $c$ encontramos muy diferentes conjuntos de Julia, cada uno viviendo en su propia dinámica plano. Regresemos ahora a tu pregunta original: ¿por qué $M$ (un subconjunto del espacio de parámetros) tienen muchas diferentes-en busca de las regiones?

La respuesta es impactante: para muchos valores de $c$

• la región de $M$ sobre $c$ y

• una parte de la Julia $J_c$

tendrá el mismo aspecto! (De hecho, están relacionados por un cuasi-mapa de conformación - un homeomorphism que distorsiona los ángulos en una limitada cantidad). La manera más rápida de convencerse a sí mismo de esta insólita historia es para acercar a diferentes puntos $c \in M$ y la parcela resultante Julia. Aquí hay algunas páginas web que se va a dibujar $M$ y $J_c$ al mismo tiempo.

http://math.bu.edu/DYSYS/applets/Quadr.html

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/cgi-bin/expl.cgi

http://www.gingerbooth.com/flash/mandel9/mandleAS9.html

http://gingerbooth.com/coursewareCBC/mandeljulia.html

Así una respuesta a su pregunta "¿por qué es de $M$ tan rico?" es que $M$ es la reproducción de la riqueza de los diversos conjuntos de Julia. Esto conduce a muchas otras preguntas, tales como "¿por qué debería dinámico de las imágenes se reproducen en el espacio de parámetros?", pero creo que voy a parar aquí.

Aquí es la parte pertinente de la página de la Wikipedia. Los enlaces papel de Bronceado Lei "la Similitud Entre el Conjunto de Mandelbrot y Conjuntos de Julia" es quizás uno de los primeros resultados en esta área. Ver el más reciente trabajo de Wolf Jung, así como muchos otros...

Answer 3

Me gustaría resume en una frase:

ITERATION (OR FEEDBACK) CREATES COMPLEXITY

Conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot todos vienen de la iteración de la familia de funciones $q_c(z)=z^2+c$. Qué podría ser más simple que un segundo grado del polinomio? La complejidad proviene de la iteración $$z_{n+1}=q_c(z_n).$$ Incluso si la función $q_c$ es simple, el comportamiento de la secuencia de $\{z_n\}$ puede ser muy complejo. De hecho, puede ser caótico.

Estamos en presencia de dependencia sensible de las condiciones iniciales (un.k.una. el efecto mariposa.) Iteraciones en las que empiezan a los dos muy cerca de los puntos iniciales, se puede separar después de un número suficientemente grande de iteraciones. El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de complejos nmbers $c$ tal que la secuencia $$0,\ q_c(0)=c,\ q_c(q_c(0))=c^2+c,\ q_c(q_c(q_c(0)))=(c^2+c)^2+c,\dots$$ sigue siendo limitada. El comportamiento de la secuencia puede ser muy diferente para los dos muy cerca de los valores de $c$. Esa es la razón por la que usted vea que el complejo comportamiento a la hora de hacer zoom en una pequeña región.

Answer 4

El enlace http://www.fractalsciencekit.com/types/classic.htm da el algoritmo básico para Mandelbrot, Julia, de Newton, y la Órbita de la Trampa de base de los fractales. Mientras que el proceso es muy simple, la naturaleza iterativa del proceso conduce a resultados muy diferentes dependiendo del punto en el plano complejo en el que se inicia. Desde una imagen fractal es de color mediante el procesamiento de cada punto en el plano complejo para determinar que los puntos de color, como el zoom, el conjunto de puntos de cambios, y según la naturaleza de la ecuación que se está utilizando, la imagen puede ser bastante complejo.