Deje $\omega=e^{i{\frac{2\pi}{2015}}}$.Evaluar $\sum_{k=1}^{2014}\frac{1}{1+\omega^k+\omega^{2k}}$

Question

Vamos a: $$\omega=e^{i{\frac{2\pi}{2015}}}$$

Luego de evaluar:

$$\sum_{k=1}^{2014}\frac{1}{1+\omega^k+\omega^{2k}}$$

Mi Intento:

Claramente, $1,\omega,\omega^2,\omega^3,...,\omega^{2014}$ $2015$th raíces de la unidad.

Por lo tanto,$\omega^{2014}=\bar\omega,\omega^{2013}=\bar\omega^2,....$ y así sucesivamente.

Deje $S=\sum_{k=1}^{2014}\frac{1}{1+\omega^k+\omega^{2k}}$

$$S=\sum_{k=1}^{1007}\left(\frac{1}{1+\omega^k+\omega^{2k}}+\frac{1}{1+\bar\omega^k+\bar\omega^{2k}}\right)=\sum_{k=1}^{1007}\left(\frac{1}{1+\omega^k+\omega^{2k}}+\frac{\omega^{2k}}{1+\omega^k+\omega^{2k}}\right)=\sum_{k=1}^{1007}\frac{1+\omega^{2k}}{1+\omega^k+\omega^{2k}}$$

$$S=\sum_{k=1}^{1007}\frac{\omega^k+\omega^{-k}}{1+\omega^k+\omega^{-k}}=\sum_{k=1}^{1007}\frac{2\cos\left(\frac{2k\pi}{2015}\right)}{2\cos\left(\frac{2k\pi}{2015}\right)+1}$$

Cómo proceder a partir de aquí. Parece ser estándar expresión trigonométrica, pero no soy capaz de recordar.

Answer 1

Para simplificar, voy a escribir $n=2015$. Desde $X^n-1=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(X-\omega^k)$ llegamos a la conclusión de que $$\frac{nX^{n-1}}{X^n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{X-\omega^k}$$ Sustituyendo $X=j=e^{2i\pi/3}$ $X= \overline{j}$ y restando obtenemos $$\frac{nj^{n-1}}{j^n-1}-\frac{n\bar{j}^{n-1}}{\bar{j}^n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{j-\omega^k}-\frac{1}{\bar{j}-\omega^k}\right)=(\bar{j}-j)\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\omega^k+\omega^{2k}} $$ Por último, desde el $n=2015\equiv 2\mod 3$ vemos que $j^{n-1}=j$$j^n=j^2=\bar{j}$, obtenemos $$\frac{1}{-i\sqrt{3}}\left(\frac{nj}{j^2-1}-\frac{n\bar{j}}{j-1}\right)=\frac{1}{3}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1+\omega^k+\omega^{2k}}$$ El paso final es fácil y tenemos $$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1+\omega^k+\omega^{2k}}=\frac{2n-1}{3}=1343$$ Esta conclusión es válida para todos los $n$ que es igual a $2\pmod3$.