Cómo evaluar $\int_0^\pi \cos(x) \cos(2x) \cos(3x) \cos(4x)\, dx$

Question

Hay una manera fácil de evaluar la integral de la $\int_0^\pi \cos(x) \cos(2x) \cos(3x) \cos(4x)\, dx$?

Sé que puedo plugin de la $e$-la función y el uso de la linealidad de la integral. Sin embargo, esto llevaría a 16 sumandos que yo realmente no desea calcular por separado.

Answer 1

Porque me gusta, voy a añadir un complicado enfoque ($C$ denota la unidad con un círculo):

$$ I=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}dx\prod_{n=1}^4\cos(nx)\underbrace{=}_{z=e^{ix}}\frac{1}{32i}\oint_C\frac{1}{z^{11}}\prod_{n=1}^4(z^{2n}+1) $$

ahora desde $\oint_Cz^{n}=0$ $n\in \mathbb{Z}$ $n\neq-1$ sólo los términos de el producto de la potencia total $10$ va a contribuir. Hay exactamente dos de ellos $2+8=4+6=10$, por lo que

$$ I=\frac{1}{32i}\oint_C\frac{2}{z}=\frac{\pi}8 $$

donde la última igualdad de resultados a partir de los residuos teorema de

---

Fiddeling alrededor con generalizaciones de este resultado y de consultoría OEIS me stumbeled más de este interesante conjunto de diapositivas: http://www.dorinandrica.ro/files/presentation-INTEGERS-2013.pdf Así que las integrales de este tipo tienen una profunda conexión con los problemas en número theroy lo cual es bastante impresionante

Answer 2

SUGERENCIA: Tenemos las siguientes identidades

$\cos(A+ B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ y

$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

$2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos (A-B)$

$\cos A \cos B = \dfrac{\cos(A+B) + \cos(A-B)}{2}$

Tome $\cos x$ $\cos 4x$ juntos y $\cos 2x$ $\cos 3x$ juntos.

A continuación,$\cos(x) \cos(2x) \cos(3x) \cos(4x) =\\ \frac18[1 + \cos(10x) + \cos(8x)+ \cos(6x)+2\cos(4x)+2\cos(2x)+\cos(x) ]$.

Ahora usted puede hacer con su habitual fórmula de integración.

Answer 3

El uso de Werner fórmula con $a\ge b>0$, de modo que $a\pm b$ son enteros

$$\int\cos ax\cos bx\ dx=\dfrac12\int\{\cos(a+b)x+\cos(a-b)x\} dx=\cdots=\begin{cases}0&\mbox{if } a\ne b\\ \dfrac\pi2 & \mbox{if } a=b\end{casos}$$

Ahora, $(2\cos x\cos4x)(2\cos2x\cos3x)=(\cos3x+\cos5x)(\cos x+\cos5x)$

$=\cos3x\cos x+\cos x\cos5x+\cos3x\cos5x+\cos5x\cdot\cos5x$

Por eso, $\displaystyle4\int_0^\pi\cos x\cos2x\cos3x\cos4x\ dx=\dfrac\pi2$ $a=b=5$

Answer 4

Hay un conocido de identidad que dice

$$\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)$$

Si ponemos $\frac{A-B}{2} = x$ $\frac{A+B}{2}=2x$ a continuación se obtienen $A=3x$$B=x$, lo $$ \cos x \cos 2x \equiv \frac{1}{2}(\cos x+\cos 3x) $$

Podemos repetir esto para $\cos 3x$$\cos 4x$. La solución de $\frac{A-B}{2} = 3x$ $\frac{A+B}{2}=4x$ da $$\cos 3x \cos 4x \equiv \frac{1}{2}(\cos x + \cos 7x)$$ Poner esto juntos da $$\cos x \cos 2x \cos 3x \cos 4x \equiv \frac{1}{4}(\cos x+\cos 3x)(\cos x+\cos 7x)$$

Ahora, usted necesita para ampliar estos soportes y siga el mismo procedimiento para simplificar $\cos x \cos x$, $\cos x \cos 7x$, $\cos 3x \cos x$ y $\cos 3x \cos 7x$.