¿Cómo se $x^4-2x^3-2x+1$ factor en $\mathbb{F}_{p}$?

Question

He estado luchando para demostrar la fórmula general de cómo el polinomio en el título de los factores de mod $p$, por arbitraria en el primer $p$. Esta es la forma en que debe de factores, aunque debo mencionar que esta "suposición" no fue formulado por la factorización para algunos de los números primos y, a continuación, suponiendo que cualquier patrón de aviso a cabo;

$x^4-2x^3-2x+1=Q_{1}\cdot L_{1} \cdot L_{2}$ si $p \equiv 11 \pmod{12}$

$x^4-2x^3-2x+1=Q_{1}\cdot Q_{2}$ si $p \equiv 7 \pmod{12}$

$x^4-2x^3-2x+1=Qu_{1}$ si $p \equiv 5 \pmod{12}$

$x^4-2x^3-2x+1=L_{1} \cdot L_{2} \cdot L_{3} \cdot L_{4}$ si $p = a^2+36 b^2$

$x^4-2x^3-2x+1=Q_{1}\cdot Q_{2}$ si $p=4a^2+9b^2$

Donde $Q, L, Qu$ son irreducibles en $\mathbb{F}_{p}$, e $Q_{i}, L_{j}, Qu_{k}$ son cuadrática, lineal, y los polinomios de cuarto grado respectivamente. Estoy trabajando en varios otros polinomios de distinto grado, así, todas con solucionable Grupos de Galois. Cualquier ayuda en cuanto a cómo el factor de esta fórmula sería muy apreciada.

Answer 1

El polinomio es recíproco, por lo que no hay una manera fácil de resolver la ecuación correspondiente: dividir a través de por $x^2$ da $$ x^2 - 2x - \frac{2}{x} + \frac1{x^2} = \Big(x + \frac1x\Big)^2 - 2 \Big(x + \frac1x\Big) - 2 = 0,$$ por lo tanto $$ x + \frac1x = 1 \pm \sqrt{3}. $$ Multiplicando por $x$ da la cuadrática $$ x^2 - \omega x + 1 = 0, $$ donde $\omega = 1 \pm \sqrt{3}$. Esto muestra que el campo generado por las raíces del polinomio es ${\mathbb Q}(\sqrt{2\sqrt{3}}) = {\mathbb Q}(\sqrt[4]{12})$.

El resto de los cálculos implican cuadrática y cuarto grado de reciprocidad para la descripción de la división de números primos en pura cuártica extensiones.

Como un ejemplo, mira el normal cierre de ${\mathbb Q}(\sqrt[4]{12})$, que es $L = {\mathbb Q}(i, \sqrt[4]{-3})$. Su máxima abelian subcampo $F$ es el campo de $12$-th raíces de la unidad, por lo tanto exactamente los números primos $p \equiv 1 \bmod 12$ dividido en $F$. Entre estos primos, los de dividir completamente en $L$ son exactamente aquellos para los que $-3$ es una cuártica de residuos modulo $p$. Clásicos criterios debido a Gauss esto sucede si y sólo si $p = a^2 + 4b^2$ $b$ divisible por $3$.

Un método directo para la descripción de la división de números primos en el diedro de las extensiones de uso de la formas cuadráticas binarias requiere el concepto de anillo de los campos de la clase. Es posible que desee buscar en Cox, el libro de los números primos de la forma $x^2 + ny^2$, donde se explica en detalle.