¿Cómo puedo obtener los ejes de la polarización de la elipse a partir de la Jones vector de la luz?

Question

Estoy analizando el estado de polarización de un monocromático, la fuente de luz coherente, por que sé que el vector de Jones de la polarización, $$ \mathbf E =\begin{pmatrix}E_x\\E_y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}|E_x|e^{i\varphi_x}\\|E_y|e^{i\varphi_y}\end{pmatrix}, $$ y me gustaría ampliar en términos de un mayor y un eje menor de ellipticity, es decir, en la forma $$ \mathbf E= e^{i\varphi}\left( Un \hat{\mathbf u} + i B\hat{\mathbf v} \right) = e^{i\varphi}\left( Un \begin{pmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\end{pmatrix} + i B \begin{pmatrix}-\sin(\theta)\\ \cos(\theta)\end{pmatrix} \right), $$ o, como se muestra gráficamente de la siguiente manera:

^{Fuente de la imagen}

Wikipedia ofrece un multi-paso el procedimiento que va a través de los parámetros de Stokes, pero estoy pensando seguramente hay un limpiador y de la manera más directa para obtener $A$, $B$, $\hat{\mathbf u}$, $\hat{\mathbf v}$, $\theta$, y los componentes de $A \hat{\mathbf u}$$B\hat{\mathbf v}$,$E_x$$E_y$, y no es particularmente evidente a partir de los resultados de búsqueda que puedes encontrar. ¿Cuál es la forma más limpia de hacerlo?

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Para ser claros: lo que creo es que carecen de los recursos existentes, y lo que la pregunta es preguntar directamente, es un conjunto explícito de conexiones, tan simple como sea posible, para los parámetros con nombre (todos $A$, $B$, $\hat{\mathbf u}$, $\hat{\mathbf v}$, $\theta$, y los componentes de $A \hat{\mathbf u}$$B\hat{\mathbf v}$), en términos de las componentes Cartesianas $E_x$ y $E_y$. Los esquemas que simplemente enviar a algún otro conjunto de manipulaciones complejas están ya disponibles a partir de la Wikipedia y no lo que la pregunta está pidiendo.

Answer 1

Déjame intentarlo una segunda vez. Yo uso http://math.stackexchange.com/questions/1204131/converting-a-rotated-ellipse-in-parametric-form-to-cartesian-form como un recurso.

Antes De Manipulaciones

La física del campo eléctrico es

$$\mathbf{E}_{phys} = Re\left[\mathbf{E} e^{i\omega t}\right] = Re\left[\begin{pmatrix}|E_x|e^{i\varphi_x}\\|E_y|e^{i\varphi_y}\end{pmatrix}e^{i\omega t}\right] = \begin{pmatrix}|E_x|\cos(\omega t + \varphi_x)\\|E_y| \cos(\omega t + \varphi_y)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}|E_x|\left[\cos(\omega t)\cos(\varphi_x) - \sin(\omega t) \sin(\varphi_x) \right]\\|E_y| \left[\cos(\omega t)\cos(\varphi_y) - \sin(\omega t) \sin(\varphi_y) \right]\end{pmatrix}$$

Esta es una ecuación paramétrica de una elipse, que se remonta por el campo eléctrico.

Los principales ejes ángulo de

Vamos

$$a=|E_x|\cos(\varphi_x)$$

$$b=|E_x|\sin(\varphi_x)$$

$$c=|E_y|\cos(\varphi_y)$$

$$d=|E_y|\sin(\varphi_y)$$

A continuación, en comparación con los enlaces de las matemáticas.SE pregunta el aceptado la respuesta de los estados que los ejes mayor y menor punto de la elipse (que se centra en el origen) cumplir

$$\omega t={1\over2}\arctan{2(ab+cd)\over(a^2+c^2)-(b^2+d^2)}+{k\pi\over2}\qquad(0\leq k\leq3)\ .$$

La expansión requerida por el OP

De hecho, esta cantidad es el ángulo de $\theta$ en la expansión que aparecen en la OPs pregunta. Sin embargo, según la cual el valor de $k$ es elegido en mayo de se $\pi/2 - \theta$, un caso distinción en función del sector de la arctan es necesario.

Esto, por supuesto, también los rendimientos de $\hat{u}$$\hat{v}$, por lo que la expansión de ahora pueden ser fácilmente obtenidos mediante la proyección de los Jones de vectores de esta base.

Las fórmulas pueden ser a lo largo, sino que constituyen una estrecha forma de solución para el problema al caso de la distinción de la elección de $k$. No veo cómo una solución más simple que puede existir, ya que en la fórmula para dar el ángulo dado no parece algebraicamente reducible.