Sobre la integral $\int\sqrt{1+\cos x}\text{d} x$

Question

Recientemente me he estado preguntando sobre la siguiente integral: $$ I = \int\sqrt{1+\cos x}\,\text{d}x $$ La forma en que lo integré es que utilicé la identidad $\sqrt{1+\cos x} = \sqrt2\cos\frac x2$ y así $$ I = 2\sqrt2\sin\frac x2 + C $$

el problema es que $\sqrt{1+\cos x}$ es realmente integrable en toda la recta real, pero la derivada de $2\sqrt2\sin\frac x2$ sólo es igual a $\sqrt{1+\cos x}$ en determinados intervalos. Esto se debe a que el actual identidad es $\sqrt{1+\cos x} = \sqrt2\left|\cos\frac x2\right|$ . Ahora, no estaba muy seguro de cómo integrar el valor absoluto, así que pensé en "arreglar" la función después de la integración.

El primer arreglo que podemos hacer es asegurarnos de que el signo del resultado de la integración es correcto: $$ I = 2\sqrt2\sin\frac x2\text{sgn}\cos\frac x2 + C $$ El problema con $\sin\frac x2$ era que a veces estaba "invertida", en ciertos intervalos era en realidad la antiderivada de la $-\sqrt{1+\cos x}$ (esto se debe a que hemos suprimido los signos de valor absoluto).

Sin embargo, esto plantea otro problema. La función anterior no es continua, es decir, no es continuamente diferenciable con derivada igual a $\sqrt{1+\cos x}$ en todas partes. Es decir, es discontinua en $x=(4n\pm1)\pi$ donde $n\in\mathbb{Z}$ .

Sin embargo, me di cuenta de que el límite de la derivada a cada lado de $x=(4n\pm1)\pi$ existían y eran iguales entre sí. Por lo tanto, pensé que podría "coser" de alguna manera estas secciones continuas de extremo a extremo y obtener un resultado continuo cuya derivada fuera $\sqrt{1+\cos x}$ en todas partes. La función resultante que obtuve fue $$ I = 2\sqrt2\sin\frac x2\text{sgn}\cos\frac x2 + 4\sqrt2\left\lfloor\frac1{2\pi}x+\frac12\right\rfloor + C $$

Ahora, me preguntaba, ¿hay alguna manera de llegar a este resultado simplemente integrando $\sqrt{1+\cos x}$ utilizando las técnicas habituales? El método que he utilizado se puede resumir en "integrar" y luego "fijar", pero me pregunto si se puede llegar a un resultado que sea continuo y diferenciable en toda la recta real haciendo sólo la parte "integradora".

Agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Editer : Para que quede claro, no estoy buscando exactamente la función anterior, sino simplemente cualquier función que sea "agradable", continua y diferenciable en $\mathbb{R}$ y tiene derivada igual a $\sqrt{1+\cos x}$ en todas partes, y que es alcanzable mediante métodos de integración "sencillos".

Answer 1

La función a integrar es $$ \sqrt{1+\cos x}=\sqrt{2}\left|\cos\frac{x}{2}\right| $$ por lo que también podemos considerar la más simple $$ \int\lvert\cos t\rvert\,dt $$ o, con $t=u+\pi/2$ la aún más sencilla $$ \int|\sin u|\,du $$ Una antiderivada es $$ \int_0^u\lvert\sin v\rvert\,dv $$ Obsérvese que la función tiene periodo $\pi$ por lo que $u=k\pi+u_0$ con $0\le u_0<\pi$ . Entonces $$ \int_0^u\lvert\sin v\rvert\,dv= \int_0^{k\pi}\lvert\sin v\rvert\,dv+ \int_{k\pi}^{k\pi+u_0}\lvert\sin v\rvert\,dv \\=2k+\int_0^{u_0}\sin v\,dv= 2k+1-\cos(u-k\pi) $$ Ahora haz la sustitución inversa; escribe $k=u\bmod\pi$ si lo prefiere.

Answer 2

Probablemente no es lo que pretendías, pero se deduce geométricamente debido al periodo de $\cos$ que

$$\int_0^x\sqrt{1+\cos(t)}\ dt=(x\text{ mod }2\pi)\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos(t)}\ dt+\int_0^{(x\text{ mod }2\pi)}\sqrt{1+\cos(t)}\ dt$$

Es decir, en realidad sólo necesitamos tomar la integral para $x\in[0,2\pi)$ y estamos listos. Para ello $t=\arccos(u)$ con $x\in[0,2\pi)$ .

$$\begin{align}\int_0^x\sqrt{1+\cos(t)}\ dt&=-\int_1^{\cos(x)}\sqrt{\frac{1+u}{1-u^2}}\ du\\&=\int_{\arccos(x)}^1\frac1{\sqrt{1-u}}\ du\\&=\left.-2\sqrt{1-u}\vphantom{\frac11}\right|_{\cos(x)}^1\\&=2\sqrt{1-\cos(x)}\end{align}$$

que se reduce a la suya mediante identidades trigonométricas. La extensión a $x\ge2\pi$ mediante operaciones modulares también es continua, y la derivada es siempre $\sqrt{1+\cos(t)}$ .