Demostrando $\int_0^1 \frac{(\ln(x))^5}{1+x} \mathrm{d}x = -\frac{31\pi^6}{252}$

Question

Me gustaría demostrar la siguiente identidad:

$$\boxed{ I := \int_0^1 \dfrac{(\ln(x))^5}{1+x} \mathrm{d}x = -\dfrac{31\pi^6}{252} }$$

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Aquí es lo que he intentado. El cambio de las variables de $u=1/x$ rendimientos $$I= \int_1^{\infty} \dfrac{(\ln(x))^5}{1+1/u} \dfrac{1}{u^2} \mathrm{d}u = \int_1^{\infty} \dfrac{(\ln(x))^5}{u^2+u} \mathrm{d}u$$ A continuación, $z=u-1$ da $$I = \int_{0}^{\infty} \dfrac{(\ln(z+1))^5}{z^2+3z+2} \mathrm{d}z $$ con $z^2+3z+2=(z+1)(z+2)$. Yo quería usar el contorno de integración como aquí, pero yo no estaba seguro de cómo proceder en este caso. De todos modos, los cálculos de los residuos (de los cuales el "elegido" de la función? Tal vez algo como esto?) parece ser difícil.

Creo que se puede generalizar a $\frac{(\ln(x))^n}{1+x}$, o incluso más (por ejemplo,$\frac{(\ln(x))^n}{ax^2+bx+c}$). Cálculos relacionados con: (1), (2), (3), (4).

Gracias por su ayuda detallada.

Answer 1

SUGERENCIA:

Exigir la sustitución de $x\to e^{-x}$, ampliar el denominador resultante de una serie geométrica de $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^ne^{-nx}$, el intercambio de la suma y la integral, para llevar la integral por cualquiera de las sucesivas IBP o la diferenciación en virtud de la integral, y evaluar el resultado de la serie representación de $\zeta(6)$.

Alternativamente, se nota que

$$\int_0^1 \frac{\log^5(x)}{1+x}\,dx=\left. \left(\frac{d^5}{da^5}\int_0^1\frac{x^a}{1+x}\,dx\right)\right|_{a=0}$$