Encontrar todos los primos soluciones de la ecuación de $5x^2-7x+1=y^2.$

Question

Encontrar todos los primos soluciones de la ecuación de $5x^2-7x+1=y^2.$

Es fácil ver que $y^2+2x^2=1 \mod 7.$ Desde $\mod 7$-los residuos se $1,2,4$ se sigue que $y^2=4 \mod 7$, $x^2=2 \mod 7$ o $y=2,5 \mod 7$ $x=3,4 \mod 7.$

En el mismo camino de $y^2+2x=1 \mod 5$ tenemos que $y^2=1 \mod 5$ $x=0 \mod 5$ o $y^2=-1 \mod 5$ $x=4 \mod 5.$

Cómo poner juntos los dos casos?

Equipo encontrar dos primeros soluciones de $(3,5)$ $(11,23).$

Answer 1

Desde $(0,1)$ es una solución a $5x^2-7x+1=y^2$, que puede ser utilizado para parametrizar todas las soluciones racionales a $5x^2-7x+1=y^2$. Que nos va a dar:

$$x:=\frac{-2ab - 7b^2}{a^2 - 5b^2}$$ y $$y:=\frac{a}{b}x+1$$

donde $a,b\in \mathbb{Z}$, $b\neq 0$.

Desde $x$ es primo, se deduce que, o bien $b=1$ o $x=b$.

• caso $b=1$

  Esto nos da $x:=(-2a - 7)/(a^2 - 5)$. Desde $x\in \mathbb{Z}$, llegamos $a=\pm 2$, y, a continuación, $x=11$ o $x=3$. Aquellos dará $y=23$ o $y=5$, respectivamente.

• caso $x=b$.

Tenemos que $\frac{-2ab - 7b^2}{a^2 - 5b^2}=b$ da

$$(*) \hspace{2cm} a(a + 2) =5b^2 - 7b.$$

Desde $y=a+1$ $x=b$ es de los primeros, y $x=2$ o $y=2$ no dar soluciones a $5x^2-7x+1=y^2$, llegamos a la conclusión de que $y=a+1$ $x=b$ son IMPARES, números primos. En particular, $a(a + 2)\equiv 0 \mod 4$. Ahora la reducción (*) $\mod 4$, contradice el hecho de que $b$ es impar. Por lo tanto, el caso de $x=b$ no se produce.

Por lo tanto, $(x,y)= (11,23)$ $(x,y)=(3,5)$ son las únicas soluciones donde ambas coordenadas son números primos.

Answer 2

Trate de trabajar mod $3$ y mod $8$. Asumiendo $x, y>3$, $x,y = \pm 1$ mod $3$. Desde $x, y$ son impares tenemos $x^2, y^2=1$ mod $8$, por lo que $$x^2, y^2 = 1 \text{ mod } 24.$$ Sustituyendo en la ecuación da $$x = 24k+11 $$ for some integer $k$. Reordenando la ecuación original obtenemos $$x(5x-7)=(y-1)(y+1), \tag{1}$$ por lo tanto, $x |y-1$ o $x|y+1$, ya que el $x$ es un número primo.

La solución para $x$ da $$ x = \frac{17}{10} + \frac{1}{10}\sqrt{20y^2+29}>\frac{1}{3}(y+1).$$ Tenga en cuenta que $x$ es impar y $y \pm 1$ es aún, por lo $x \ne y\pm1$. Esto obliga a $x = \frac{1}{2} (y \pm1)$, o $$y = 2x \pm 1 = 48k + 22 \pm 1 \Rightarrow y = 48k+23.$$ $48k+21$ es rechazado ser divisible por 3. Conectar estas en $(1)$ da la solución $k=0$ o $$x = 11, \space y = 23.$$

Answer 3

Completando el cuadrado y dividiendo por $5$, tenemos

$$ (10 x - 7)^2 - 20 y^2 = 29$$

Por lo tanto $z = 10 x - 7$ $w = 2 y$ son soluciones de la Pell-tipo de ecuación

$$ z^2 - 5 w^2 = 29$$

El entero positivo soluciones de esto puede ser escrito como

$$\pmatrix{z\cr w\cr} = \pmatrix{9 & 20\cr 4 & 9\cr}^n \pmatrix{7\cr 2\cr} \ \text{or}\ \pmatrix{9 & 20\cr 4 & 9\cr}^n \pmatrix{23\cr 10\cr}$$ para los números enteros no negativos $n$.

Ahora desea $w$ a ser incluso y $z \equiv 3 \mod 10$. Todas las soluciones de $w$ a, y $z$ altermately $\equiv \pm 3 \mod 10$. Así, por $n$ incluso consigue enteros para $x,y$ con $$ \pmatrix{z_n\cr w_n\cr} = \pmatrix{9 & 20\cr 4 & 9\cr}^n \pmatrix{23\cr 10\cr}$$ y para $n$ impar, $$ \pmatrix{z_n\cr w_n\cr} = \pmatrix{9 & 20\cr 4 & 9\cr}^n \pmatrix{7\cr 2\cr}$$ Usted obtener números primos para $n=0$ ($z_0 = 23, w_0 = 10, x_0 = 3, y_0 = 5$) y $n=1$ ($z_1 = 103, w_1 = 46, x_1 = 11, y_1 = 23$). En general,

• $x_n \equiv 0 \mod 3$ $n \equiv 0$ o $3 \mod 4$.
• $x_n \equiv 0 \mod 17$ $n \equiv 2$ o $3 \mod 6$.
• $x_n \equiv 0 \mod 5$ o $y_n \equiv 0 \mod 5$$n \equiv 0,3, 4, 5, 6, 9 \mod 10$.
• $x_n \equiv 0 \mod 11$ $n \equiv 1, 8 \mod 10$.
• $x_n \equiv 0 \mod 13$ $n \equiv 3, 5, 6, 7, 8, 10 \mod 14$.
• $y_n \equiv 0 \mod 23$ $n \equiv 1, 2, 5, 6 \mod 8$.

Y cada entero $n$ es en al menos una de estas clases. Llegamos a la conclusión de que no hay otras soluciones primer.

Answer 4

¿Se puede cargar directamente en esto?

$y$ es impar. $x=2 \ (\Rightarrow y^2=7)$ no es una solución, por lo $x$ es una extraña prime.

$x(5x-7) = (y-1)(y+1)$, lo $x \mid (y-1) $ o $x \mid (y+1)$ ($x$ es primo) así $kx=y\pm1$, $k$ incluso

$k\ge4$ es demasiado grande: $(kx\pm1)^2\ge (4x-1)^2 $ $= 16x^2-8x+1$ $>5x^2-7x+1$. Tan sólo$k=2$$x=\frac 12(y\pm1)$, hace que la igualdad sea factible.

Considerando los dos casos:

• (1) $x=\frac 12(y+1)$, $y=2x-1$:
  $x(5x-7) = 4x(x-1) \implies x = 3, y=5$

• (2) $x=\frac 12(y-1)$, $y=2x+1$:
  $x(5x-7) = 4x(x+1) \implies x = 11, y=23$

Tenga en cuenta que yo no restringir $y$ en cualquier punto - las dos soluciones acaba de pasar a tener $y$ prime.

Answer 5

Si hay una solución que tiene más de 4000 dígitos, lo que me hace pensar que no hay solución más allá de los dos ya mencionados.

En Mathematica,

i=1;
ans=Solve[5 x ^2-7x+1==y^2&&x>0&&y>0,{x,y},Integers];
ans2=ans/.C[1]->i//RootReduce
Dynamic@i
Dynamic[IntegerLength@ans2[[All,All,2]]]

y, a continuación, ejecute

    While[FreeQ[PrimeQ[ans2[[All,All,2]]],{True,True}],i++;ans2=ans/.C[1]->i//RootReduce]

Configuración de i=0 va a parar el bucle con las dos soluciones conocidas:

{{x->3,y->5},{x->11,y->23}}

pero parece ser que no son fáciles de encontrar soluciones más allá de i=1