Aquí está mi granito de arena sobre el tema:
Hay tres tipos distintos de "conocidos" de las funciones. Voy a evaluar cada caso por separado, y mostrar cómo construimos nuestro "conjunto de funciones"
1. Funciones Elementales
Las funciones elementales se les da una categoría especial, ya que comparten propiedades especiales (*tos* murmura algo acerca de diferencial de campo *tos*) Fundamentalmente, funciones elementales es algo de suma, multiplicación y exponenciación, junto con los inversos (cuando se trabaja en $\mathbb{C}$). Podemos (finitely) redactar estas operaciones para obtener nuevas funciones elementales - por ejemplo, $\sin(2x) - 5$ puede ser dividido en
- $\sin(x)$, que se define como la parte imaginaria de un complejo que implica la multiplicación exponencial
- $2x$, que es un mulitiplication compuesto en $\sin(x)$
- $-5$, la adición de el inverso aditivo de a $5$ la expresión anterior.
Una vez que comenzamos a jugar con las composiciones o los operadores de fuera de esta lista nos encontramos con problemas. Un simple ejemplo es $\int \frac{e^x}{x}\mathrm{d}x$, que no está en nuestra lista. Encontrar una manera de incluir este en nuestra lista de funciones, obtenemos:
2. Funciones Especiales
Las funciones especiales son una forma de ampliar nuestro conjunto de funciones elementales para incluir otros comúnmente las funciones necesarias. Un ejemplo sencillo es la integración de arriba; a menudo nos plazo, esta función $\operatorname{Ei}(x)$, conocida como la Integral Exponencial. Así podemos ver claramente que la integración y la diferenciación de los operadores no están en nuestro grupo de primaria de las operaciones; para la mayoría de los intentos y propósitos, realmente queremos que estas operaciones, y así ampliar nuestro grupo de función parece natural.
- Anexo: Se permiten las funciones creadas por la integración "Funciones Especiales", pero no la integración o diferenciación de los propios operadores. Consulte esta página para obtener más detalles
Otro ejemplo común es la Función Gamma. Todos sabemos que la función factorial $n!$ es elemental; es definido exclusivamente por la multiplicación (o división si desea fácilmente justificar $0!$). Funciones especiales son por lo tanto intrínsecamente ligado a la voluntad de "Continuación Analítica", es decir, la ampliación de los dominios de las funciones dentro de nuestro conjunto.
Ahora parece que sólo podemos seguir ampliando nuestro conjunto de funciones para ser más grande y más grande, y esto es cierto; sin embargo, hay un número de razones para tener un número finito de funciones especiales.
- Una gran parte de la razón filosófica es, simplemente, que los seres humanos viven por un tiempo limitado y pueden lograr sólo un número finito de tareas, mientras que hay infinitamente muchas funciones.
- Una base más sólida razón es que muchas tareas comunes implican las mismas funciones, y por lo que el estudio de estas funciones más en profundidad y conocer a un montón de propiedades acerca de ellos. Esto permite a los investigadores a compartir el conocimiento de las funciones más fácilmente; por ejemplo, es mucho más difícil compartir la información sobre el conjunto de símbolos "$\int \frac{e^x}{x} \mathrm{d}x$" que el de compartir información sobre "$\operatorname{Ei(x)}$" o "La Integral Exponencial". Si no me creen a mí, no he tratado de encontrar información en línea, por ejemplo, en Wolfram MathWorld
Sin embargo, hay que simplemente va a ser problemas que deseamos resolver que involucran funciones no hemos incluido aún en nuestro set. Un ejemplo concreto es la integral de la $x^x$ -, ¿Qué hacemos con esto? Podemos ampliar nuestra lista de funciones para incluir (algunos):
3. Otras Funciones
Lo que cae en esta lista es muy subjetiva. En mi libro aunque, por lo general incluyen (generalizada) de potencia de la serie, differintegrals, y así sucesivamente.
También se incluyen en esta categoría es lo que usted necesita en el momento. Por ejemplo, en un punto de mi investigación, yo necesitaba una forma compacta de expresar la integral de $x^x$. Después de un poco de investigación, he encontrado este documento que tenía un poco sobre el tema, la creación de una función de $\operatorname{Sphd}(x)$ a generalizar la noción de la estudiante de Segundo año del Sueño. Esto me ayudó un poco, pero lo que hizo en realidad fue acabamos de inventar "Brevan de la Función", que me define a ser $\operatorname{B}(x)=\int x^x \mathrm{d}x$.
Ahora viene la distinción importante: Si estudio $\operatorname{B}(x)$ suficiente podría convertirse en una función especial. La creación de una nueva función especial conlleva generalmente después de haber descubierto y publicado una gran cantidad de detalles sobre la función, así como tener a otras personas utilizar la función.
Nota: siento que este es en la actualidad bastante la semana de análisis, especialmente en la última sección. Voy a actualizar, ampliar y corregir este post cuando tenga tiempo.
