La codificación de la lógica difusa con el topos de establecer valores de las poleas

Question

Uno de los ejemplos canónicos utilizado por Barr Y Pozos con el fin de motivar el uso de topoi es que se puede construir una teoría de la lógica difusa y la teoría de conjuntos difusos como el conjunto de valores de las poleas en un poset (álgebra de Heyting) de confianza de los valores de la tolerancia. Haciendo esto construye una teoría difusa, en donde la pertenencia y la igualdad de las relaciones de tener más valores de verdad que sólo la verdadera y la falsa.

¿Cómo se podía construir un complejo método que utiliza este modo de pensar? En otras palabras, hay una manera fácil de ver en una gavilla en un poset con tres valores como un conjunto borroso de la teoría de los valores de verdad (verdadero, tal vez, false)? O es esta formulación incluso el enfoque equivocado? ¿Quiero una diferente álgebra de Heyting, por lo que el subobjeto clasificador termina por tener tres elementos?

Answer 1

En primer lugar, debo advertir que hay una diferencia entre la difusa la lógica y la teoría de topos. Hay algunas categorías de conjuntos difusos que son casi toposes, pero no del todo - se forma un quasitopos, que es como un topos, pero epi + mono necesidad no implica iso. Hay una construcción de un quasitopos en Johnstone los Bocetos de un Elefante - Vol. 1 A2.6.4(e).

Ahora para los tres valores de la lógica, yo creo que un buen ejemplo es un tiempo-como la lógica. Suponga que tiene un punto fijo de T en el tiempo. Esto le da dos regiones de tiempo - antes de T y T. después de Nuestra lógica de tres valores de verdad - siempre true, true después de T, pero no antes, y nunca es verdad. Tenga en cuenta que no tenemos un caso de "true antes de T, pero no después", ya que una vez que algo es verdadero, es siempre la verdad a partir de ese momento. Como el conocimiento de los teoremas matemáticos (suponiendo que no hay errores!).

El topos con esta lógica es la flecha de la categoría del set: set$^\to$. Los objetos se componen de un Conjunto de funciones de $A \to B$, y morfismos constan de un par de funciones de conjunto de la formación de una propiedad conmutativa de la plaza.

Para los otros tres valores de la lógica vistazo a las diferentes álgebras de Heyting, pero preste mucha atención a la implicación de la operación, ya que es una parte vital de topos de la lógica. Para el verdadero, falso, tal vez el caso de que yo no estoy seguro sobre cómo construir un álgebra de Heyting que refleja esta lógica.