Hay un Lebesgue medibles función de elección?

Question

Un mapeo $f$ $\mathbb R$ $\mathbb R$se llama a una función de elección si, por cualquier $x, y \ {\rm in}\ \mathbb R$, $f(x)-x \in\mathbb Q$ y $f(x)=f(y)$ siempre $x-y$ es racional.

Mi pregunta es: ¿existe un Lebesgue-medible función de elección?

Nota: Aquí uso la relación de equivalencia para la construcción de Vitali conjuntos: x y y están en la misma clase de equivalencia si x-y es racional. Así que la selección de las funciones de recoger un elemento de cada clase de equivalencia como su valor representativo.

Answer 1

Hay por lo menos no es Borel medible función con esta propiedad. Supongamos que hay un Borel medible función de $f$ con esta propiedad. Entonces habría un Borel medible gráfico de $G=\{(x,y):y=f(x)\}$. Ahora la proyección de $G$ en su segunda coordenada es una analítica de conjunto y, por tanto, Lebesgue medibles. Pero se trata de un conjunto de Vitali, contradiciendo su mensurabilidad.

No sé cómo extender esto a Lebesgue medibles funciones.

Answer 2

Supongamos $f$ es medible. A continuación, $V = \{x \in \mathbb{R} \,:\,f(x) = x\}$ es un importante representante del sistema para establecer la equivalencia de la relación de $x \sim y$ si y sólo si $x - y \in \mathbb{Q}$. Es decir, $V$ es un apreciable conjunto de Vitali, pero tal sistema no existe.