Definiciones de mensurabilidad para funciones valoradas por operadores

Question

Si $\mathfrak{X}$ es un espacio de Banach, una función $T: \mathbb{R} \to \mathcal{L}(\mathfrak{X})$ se define como

• uniformemente medible si es un límite de norma a.e. de una secuencia de funciones de valor contable de $\mathbb{R}$ a $\mathcal{L}(\mathfrak{X})$
• fuertemente medible si, para cada $x \in \mathfrak{X}$ , $t \mapsto T(t)x$ es un límite de norma a.e. de una secuencia de funciones de valor contable de $\mathbb{R}$ a $\mathfrak{X}$
• débilmente medible si, para cada $x \in \mathfrak{X}$ y $\ell \in \mathfrak{X}^*$ , $t \mapsto \ell(T(t) x)$ es una función medible de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{C}$

Si tuviera que adivinar por la terminología, habría dicho que la mensurabilidad uniforme, fuerte y débil son sólo mensurabilidad con respecto a la Borel $\sigma$ -generadas por las topologías uniforme, fuerte y débil en $\mathcal{L}(\mathfrak{X})$ . ¿Sería eso equivalente? ¿O son todos esos Borel $\sigma$ -¿las álgebras son iguales por alguna razón que no veo? ¿O la teoría de integración resultante no es tan satisfactoria? Los libros que estoy leyendo (Hille/Phillips y Dunford/Schwartz) no tienen ninguna discusión sobre por qué no definimos la mensurabilidad de la manera (que me parece) natural.

Answer 1

En el contexto de la integración de Bochner, la mensurabilidad fuerte es la definición natural de la mensurabilidad, porque la integral de Bochner se define como el límite de las funciones de valor simple/contable. Creo que la mensurabilidad débil es más natural en el contexto de la integral de Pettis, pero también es una herramienta útil para demostrar la mensurabilidad fuerte. La mensurabilidad débil y la fuerte están relacionadas por Teorema de mensurabilidad de Pettis .

Creo que lo que llamarías la definición natural es la mensurabilidad de Borel con respecto a la topología de la norma. Por lo que sé, esto se relaciona con la mensurabilidad fuerte del mismo modo que la mensurabilidad débil:

Una función $f: \Omega \to X$ es fuertemente medible si y sólo si $f$ se valora por separado y para todos $B \in \mathcal B(\Omega)$ tenemos que $f^{-1} (B)$ es medible.

Aquí $X$ es un espacio de Banach y $\Omega$ es un espacio medible. Ryan ofrece un buen resumen en el libro "Introduction to Tensor Products of Banach spaces", pero la prueba es errónea. Estas notas de clase son la única referencia que he podido encontrar donde se demuestra esta proposición. Todavía no he comprobado esta prueba a fondo.

Así que la mensurabilidad fuerte no es la mensurabilidad de Borel con respecto a la topología fuerte.

Answer 2

"Uniformemente medible" es lo mismo que "Bochner medible" cuando $L(X)$ se considera un espacio de Banach. Pero como $L(X)$ es (normalmente) no separable en la norma, esto no es "mensurabilidad" con respecto a la norma sigma-álgebra. Observaciones similares para los fuertemente medibles. Para la medición débil: esta definición dice que las imágenes inversas de ciertos conjuntos abiertos subbásicos (y básicos) son medibles, pero por supuesto no hay ninguna razón para pensar que las imágenes inversas de uniones incontables de conjuntos abiertos básicos sean medibles. Y (puesto que no es necesario que sean medibles de todos modos para hacer la integración) ¿por qué querrías añadir ese requisito?

Si intentas hacer las cosas utilizando tu supuesta forma "natural" de definir la mensurabilidad, ¡creo que muy pronto tendrás grandes problemas!