Si cada elemento tiene la primera energía de orden y $Z(G) \neq 1$ $G$ $p$- grupo.

Question

En un grupo finito $G$ si cada elemento es de primer poder de la orden (prime puede variar con el elemento) y si $G$ no trivial centro de demostrar que $G$ es realmente de primer poder de la orden. Deducir que cualquier grupo G de orden pq (donde p y q son distintos de los números primos) con los no trivial centro es cíclico.

Answer 1

Sugerencia. Si un elemento $x$ orden $p$ existe en $Z(G)$, se conmuta con cualquier otro elemento $y$ orden $q$$G$. ¿Qué dice acerca de la orden de $xy$?

Answer 2

Deje $g\neq 1$ estar en el centro, y han de primer orden divisible por $p$.

Supongamos que existe otro elemento $h$ con el primer poder divisible por $q\neq p$. Desde $h$ $g$ viaje, el orden de $hg$ tiene que ser el mínimo común múltiplo de los pedidos de $h$$g$, pero que está claro que no es una fuente primaria de energía. Por lo tanto no hay tal $h$ existe en $G$, e $G$ $p$ grupo. Como tal, se ha pedido una potencia de $p$.

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Si $G$ tenían orden de $pq$ pero no era cíclico, entonces la única posible los pedidos de los elementos se $p$ $q$ y 1 (pero, por supuesto, la identidad es la única cosa con el fin de 1): estos son todos de primer poderes (con $1=p^0$, supongo). Si el centro no trivial, entonces por la primera parte $pq$ es una potencia de un primo: esto es una contradicción. Por lo tanto $G$ debe ser cíclica.