Mostrar que $f(x)=0$ % todo $x\geq0$

Question

Yo he estado luchando con este problema...

P. que $f(x)$, $x\geq 0$, una función continua no negativa y $F(x)=\int_0^x f(t) dt$, $x\geq0$. Si para algunos $c>0$, $f(x)\leq cF(x)$ % todo $x\geq 0$, entonces mostrar que $f(x)=0$ % todos $x\geq0$.

He intentado todo en mi capacidad, pero en vano. Tengo una sensación que esto puede ser resuelto usando el teorema del valor medio. ¿Alguna idea? Por favor ayuda!!

Answer 1

Que $$\phi(t) = e^{-ct} F(t)$$ Then $\phi(0) = 0$, and $\phi(t) \ge 0 $ for all $ t \ge 0$.

Además, $$\phi'(t) = e^{-ct}(F'(t) - c F(t)) \le 0$$hence $\phi(t) = \int_0^t \phi'(\tau) \tau \le 0$, and so $\phi(t) d = 0 $ for all $t \ge 0$.

Si $ϕ(t)=0$ % todo $t≥0$, entonces el $F(t)=0$ % todos $t≥0$. $f$ Continuo, $F$ es diferenciable y $F ′ =f$, por lo tanto, $f=0$.

Answer 2

Escriba su asunción como $F'(x) \leq c F(x)$. Sabes que $F(0)=0$. $x_0>0$ De fijar y definir $$ M_0 = \sup_{x \in [0, x_0]} f (x), \quad M_1 = \sup_{x \in [0, x_0]} f '. $$ Entonces por el teorema del valor medio, para cada $x \in [0,x_0]$, $F(x) \leq M_1 x_0 \leq c x_0 M_0$. Si $c x_0 < 1$, entonces el $F(x)=0$ cada $x \in [0,x_0]$. Ahora a partir de $x_0$ y seguir.

Bibliografía. W. Rudin. Principios de análisis matemático. Capítulo 5, ejercicio 26.