VEV de los campos tensoriales

Question

¿Es posible tener un VEV (valor de expectativa de vacío) para el campo tensorial? Me refiero principalmente a los tensores de segundo rango. Parece que puede tener un VEV que será proporcional al tensor métrico (en el espacio-tiempo plano). ¿Tiene esto algún sentido? Si lo tiene, ¿cuáles son sus implicaciones?

Answer 1

Si suponemos, como es habitual, que el estado de vacío asociado al vector de estado $|0\rangle$ es invariante bajo una representación unitaria del (subgrupo componente conectado del) grupo de Poincaré $SO(3,1)_+\ni (\Lambda,a) \mapsto U(\lambda, a)$ podemos escribir $U(\Lambda, a)|0\rangle = e^{i \alpha(\Lambda,a)}|0\rangle$ para algunas, irrelevantes en lo siguiente, fases $\alpha(\Lambda,a)\in \mathbb R$ .

Un operador tensorial $\hat{T}(x)$ se transforma bajo la acción de $U$ de la siguiente manera: $$U(\lambda, a)^\dagger \hat{T}(x) U(\lambda, a) = \sum_{l} \sum_{B_l}L_l(\Lambda)^{A_l}_{B_l} \hat{T}^{B_l}_l(x-a)\:;$$ donde el campo tensorial se ha descompuesto en sus componentes irreducibles de representación con respecto a la acción del grupo de Lorentz. El $L_l$ son las matrices (de dimensión finita) que describen la acción del grupo en la representación irreducible $V_l$ donde los respectivos $\hat{T}_l(x)$ estancia. Por lo tanto, podemos evaluar el VEV tomando la condición de invariancia $U(\Lambda, a)|0\rangle = e^{i \alpha(\Lambda,a)}|0\rangle$ en cuenta. $$\langle 0| \hat{T}(x) |0\rangle = \langle 0|U(\lambda, a)^\dagger \hat{T}(x) U(\lambda, a) |0\rangle\:.$$ Eso es, $$ \sum_{l} \sum_{B_l}L_l(\Lambda)^{A_l}_{B_l} \langle 0| \hat{T}^{B_l}_l(x-a)|0\rangle - \langle 0| \hat{T}^{A_l}_l(x)|0\rangle =0\:.$$ Como las representaciones actúan por separado, esto equivale a decir que, para cada $l$ , $$\sum_{B_l}L_l(\Lambda)^{A_l}_{B_l} \langle 0| \hat{T}^{B_l}_l(x-a)|0\rangle - \langle 0| \hat{T}^{A_l}_l(x)|0\rangle =0 \quad \forall a \in \mathbb R^4, \Lambda \in SO(3,1)_+\:.\tag{1}$$ Elección de $\Lambda=I$ tenemos que $$\langle 0| \hat{T}^{A_l}_l(x)|0\rangle = t_l^{A_l}\quad \mbox{constant in $ x $}.$$ En consecuencia (1) implica: $$\sum_{B_l}L_l(\Lambda)^{A_l}_{B_l} t^{B_l}_l = t^{A_l}_l =0 \quad \forall \Lambda \in SO(3,1)_+\:.\tag{2}$$ En otras palabras, cada conjunto de componentes $\{t^{A_l}_l\}_{A_l}$ debe definir un tensor invariante bajo la acción del correspondiente rep irreducible. Todos los tensores invariantes se obtienen utilizando la métrica $g_{\mu\nu}$ y el (pseudo)tensor de Ricci $\epsilon^{\alpha\beta \gamma \delta}$ y todas las posibles combinaciones tensoriales de ellas. Es imposible producir un cuatro vector de esta manera, por lo que no existen VEV no evanescentes para los vectores. Un tensor de segundo orden $T_{ab}$ siempre puede descomponerse como sigue en su $SO(3,1)_+$ -Partes de representación irreductibles: $$T_{\mu\nu} =\left[ \frac{1}{2}(T_{\mu\nu}-T_{\nu\mu})\right] \:+ \:\left[ \frac{1}{2}(T_{\mu\nu}+T_{\nu\mu}) - \frac{1}{4}g_{\mu\nu} T^{\alpha}_\alpha \right]\:+ \: \frac{1}{4}g_{\mu\nu} T^{\alpha}_\alpha\:.$$ El primer término del lado derecho es la parte antisimétrica. No hay forma de construir un $SO(3,1)_+$ invariante de segundo orden del tensor antisimétrico a partir de la métrica y el pseudotensor de Ricci. Por lo tanto, esta parte del VEV debe desaparecer. El mismo resultado se aplica también al segundo término. Sólo el tercero puede sobrevivir.

Así que la respuesta es SÍ, como adivinas, puedes tener un VEV no evanescente para un operador tensorial de segundo rango. Sin embargo, ese VEV debe ser necesariamente de la forma $$\langle 0| \hat{T}_{\mu\nu}(x)|0\rangle = c g_{\mu\nu}$$ para alguna constante $c$ .

Answer 2

Interpretando su pregunta con rigor, es posible. Todo campo tensorial tiene un VEV, pero en la mayoría de los casos es la identidad. :-)

El campo de Higgs es el único campo conocido que tiene un VEV distinto de cero, pero es un campo escalar.

Un campo vectorial con VEV no nulo dañó el isotropía del vacío.

Un campo tensorial no nulo: el valor de vacío de la mayoría de los campos tensoriales es $I$ en su estado básico y este es el caso del vacío también.

Answer 3

Puedes descomponer tu tensor según representaciones irreducibles de tu grupo de simetría. Las partes que se transforman bajo una representación trivial pueden obtener un VEV distinto de cero sin dañar la simetría del vacío.