continuum entre lineal y logarítmica

Question

Un amigo y yo estamos trabajando en un mapa de calor en representación de algunos números de la población. Inicialmente se utilizó un lineal de la escala de color por defecto. Entonces, porque los números que abarca un amplio rango, he intentado utilizar un registro de la escala de color (como se muestra aquí). Mi amigo dijo que oscurecida los datos demasiado.

Así que me preguntaba, ¿hay algo entre los dos ... una especie de continuum lineal entre escala y escala logarítmica? Puede que me arrastre el control deslizante (por así decirlo) entre lineal y registro de escala? E. g. nosotros tratamos de "el 25% de registro y el 75% lineal".

Supongo que yo podría usar una interpolación lineal de la función como

f(x) = x + (log(x) - x) * L

donde L es "loggishness," que van de 0 a 1, para interpolar entre una lineal y una escala logarítmica.

Supongo que no hay nada de malo con eso, pero parece ... no sé, un poco "natural". Como no se ajusta a la naturaleza de la función de registro. Es allí una manera más natural de hacer esto?

En el segundo pensamiento, yo también podría intentar geométrica de interpolación entre x y log(x). Que parece ser un poco más acorde con la naturaleza de los logaritmos, pero ... todavía no estoy seguro de si es "la" forma natural de hacerlo. También me pregunto si sería visualmente engañosa en todos (suponiendo que podamos decirle al lector qué tipo de escala que estamos usando).

Estoy equivocado para tratar de mostrar los datos en un poco/más/menos loggish escala? No pude encontrar a nadie hablar de ello en la web, pero tal vez yo no supe qué términos de búsqueda.

Answer 1

La integral de $x^n$ $n\ne-1$ $x^{n+1}/(n+1)$ (además de una constante), y la integral de $x^{-1}$$\log x$, por lo que en un sentido $\log x$ actúa como $x^0$. Digamos que usted desea asignar $x_0$$y_0$$x_1$%#%, y desea que los valores entre a ser algo en el medio

$y_1$$

y

$$y=y_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}(y_1-y_0)$$

donde el $$y=y_0+\frac{\log x-\log x_0}{\log x_1-\log x_0}(y_1-y_0)\;,$ valores pueden ser números de la población y el $x$ valores podrían ser los valores de los colores. Entonces usted puede considerar la posibilidad de $y$ como el límite de $\log x$ $x^n/n$ y escribir

$n\to0$$

para arbitrario $$y=y_0+\frac{x^n-x_0^n}{x_1^n-x_0^n}(y_1-y_0)$ donde $n\in[0,1]$ se entiende el límite de $n=0$. De hecho, por l'Hôpital

$n\to0$$

Por lo que el parámetro $$\lim_{n\to0}\frac{x^n-x_0^n}{x_1^n-x_0^n}=\lim_{n\to0}\frac{\frac{\mathrm d}{\mathrm dn}\left(x^n-x_0^n\right)}{\frac{\mathrm d}{\mathrm dn}\left(x_1^n-x_0^n\right)}=\lim_{n\to0}\frac{x^n\log x-x_0^n\log x_0}{x_1^n\log x_1-x_0^n\log x_0}=\frac{\log x-\log x_0}{\log x_1-\log x_0}\;.$ es el regulador puede deslizar de $n$ $0$ir de$1$$\log x$. Usted puede tener algunos de precisión de temas a tratar, a medida que se acercan a $x$, y usted debe asegurarse de controlar el caso de $n=0$ por separado mediante el real $n=0$ función.

Aquí un complot para$\log$$y_0=0,y_1=1,x_0=1,x_1=10$.

Answer 2

Aquí hay un enlace a una animación realizada con Geogebra mostrando los gráficos de $y=x-1$$y=\log(x)$, con la gráfica de $y=\frac{x^p-1}{p}$ $p$ varía de $0.001$$1$. De esa manera usted puede ver cómo Robert Israel sugerencia pueden ajustarse a sus necesidades.

(Geogebra es gratis y fácil de usar, así que usted puede crear sus propios controles deslizantes para experimentar con diferentes funciones "entre lineal y logarítmica.")