¿Existen varios números reales positivos tales que su suma es 1 y la suma de sus cuadrados es menor que 0,01

Question

¿Existen varios números reales positivos tales que su suma es 1 y la suma de sus cuadrados es menor que 0,01?

Mi intento: Sean n números reales y los llamemos $x_{1},x_{2},..,x_{n}$ . Dado que son reales positivos por lo que WLOG podemos suponer $x_{1}\geq x_{2}..\geq x_{n}$ . La condición $x_{1}+x_{2}+..+x_{n}=n \implies x_{n} \leq \frac{1}{n}$ . También $x_{1}\geq x_{2}..\geq x_{n} \implies x_{1}^{2}\geq x_{2}^{2}..\geq x_{n}^{2}$
Después de este punto estoy atascado. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Sólo toma los reales positivos $x_1,x_2,\dots ,x_n$ para que su suma sea $1$ y todos los números son menores que $\frac{1}{100}$ .

Entonces tenemos: $x_1^2+x_2^2+\dots x_n^2<\frac{1}{100}(x_1+x_2+\dots + x_n)=\frac{1}{100}\cdot1=0.01$

Answer 2

Sí. Toma. $x_n=\frac{\epsilon}{n}$ , donde $\epsilon=\left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}\right)^{-1}$ . Tenemos $$\sum_{n=1}^Nx_n=\epsilon\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}=1$$ por definición. Por otro lado, $$\sum_{n=1}^Nx_n^2=\frac{\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}}{\left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}\right)^2}.$$ Tomando $N$ lo suficientemente grande, éste puede ser arbitrariamente pequeño ya que el numerador converge, mientras que el denominador diverge a $\infty$ .

Answer 3

Supongamos que todos los números serán iguales. Entonces tenemos:

$$n \times i^2 < 0.01$$ $$n \times i = 1$$

donde $i$ es el número que buscamos y $n$ es la cantidad Sustituye y obtén:

$$i < 0.01$$

Answer 4

La intuición:

Cuando se eleva al cuadrado un número $x$ , se multiplica $x$ por $x$ . Esto significa que $x^2$ es siempre " $x$ veces más grande" que $x$ .

Supongamos que $x$ es grande, como 100. $100^2$ es mucho mayor que 100. Para ser precisos, es 100 veces mayor. Ejemplos como éste nos dan la intuición de que "elevar al cuadrado hace que un número sea más grande... y cuanto mayor sea el número, mayor será el efecto de elevar al cuadrado".

Pero si $x$ es menor que 1, " $x$ veces más grande" es algo confuso: multiplicar un número por $x$ en realidad lo hace más pequeño. Así que $x^2$ será menor que $x$ cuando $x$ es menor que uno.

Por ejemplo, supongamos que $x$ es 0,01. $0.01^2$ es mucho menor que $0.01$ . Para ser precisos, es $1/0.01=100$ veces más pequeño. Al tomar $x$ cada vez más cerca de cero, puedes hacer $x^2$ más pequeño que $x$ es, por factores cada vez más grandes.

El problema en cuestión:

"¿Existen varios números reales positivos tales que su suma es 1 y la suma de sus cuadrados es menor que 0,01?"

Este problema nos pide que encontremos números que sumen 1, aunque sus cuadrados sumen menos de 0,01. Es decir, nos pide que encontremos números cuyos cuadrados sean realmente pequeños, aunque los números en sí mismos no sean tan pequeños.

La intuición anterior nos dice cómo encontrar estos números: ¡sólo hay que tomar números mucho más pequeños que 1! Necesitaremos muchos de ellos, para que sumen 1, pero sus cuadrados se reducirán tanto que esto no será un problema.

Para empezar, toma diez copias de 0,1. Se suman a 1. Cada cuadrado es 0,01, así que los diez cuadrados sumados son 0,1. Si el problema dijera "la suma de sus cuadrados es menor que 0,1", habríamos terminado. Pero quiere que estemos por debajo de 0,01. Así que sigamos: cuanto más pequeños sean los números que elijamos, más cuadrados serán menores que los números.

Tome cien copias de 0,01. Suman 1. Cada cuadrado es 0,0001, así que los cien cuadrados sumados son 0,0001 x 100 = 0,01. Woah - justo en el borde. Estrictamente hablando, la pregunta quiere que la suma de los cuadrados sea menos de 0,01, así que tenemos que dar un paso más.

Tome mil copias de 0,001. Suman 1. Cada cuadrado es 0,00001, así que los mil cuadrados sumados son 0,00001 x 1.000 = 0,001. ¡Ya está!

(Si observamos la tendencia de la suma de cuadrados, está claro que si seguimos adelante, podemos conseguir que sea tan pequeña como queramos. Eso es lo que Spenser estaba diciendo, cuando mencionaron la convergencia. Pero en realidad es sólo una forma de describir una tendencia).

Answer 5

Para combinar las respuestas de Carry y Spenser, considere $a_i=\frac{1}{n}$ para $i=1\ldots n$ . Entonces, $$\sum_{i=1}^{n}a_i = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}=1 \quad \quad \quad \quad \sum_{i=1}^{n}a_i^2 = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n^2}=\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$$

Así que haciendo n tan grande como se quiera (por ejemplo, al menos $\frac{1}{\epsilon}$ para $\epsilon>0$ ), puedes hacer la suma de cuadrados tan pequeña como quieras. En tu caso, n=100, 101, ... funcionará.