¿Los campos que satisfacen el estudiante de primer año ' s Dream?

Question

Es bien sabido que el Primer Sueño, $(a+b)^p = a^p + b^p$, sostiene que en los campos de la característica de $p$. Por $p = 2$, de hecho esos son los únicos campos; para, $(a+b)^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 2ab = 0$ para cada uno $a, b$, por lo que en específico el campo tiene la característica de $2 dólares. Pero $(a+b)^3 = a^3 + b^3$ es satisfecha por todos los elementos de $\mathbb{F}_2$, así como en los campos de la característica de $3 dólares. De hecho, este es el único campo de la característica de $\ne 3$ en que esta identidad se mantiene; la identidad es equivalente a $3ab(a+b) = 0$, que en el carácter $\ne 3$ medio $ab(a+b) = 0$ o, dejar que $b = 1$, $a = 0,-1$.

En los campos que hace la identidad $(a+b)^p = a^p + b^p$ presionado por cada $a, b$ ($p$ fijo)?

Answer 1

Reclamo: Permitir $n \geq 2$ ser un número natural y $F$ ser un campo. Entonces $F \F, \mapsto a^n$ es aditivo si $F$ ha característica positiva de $p$ y

• ya sea $F$ es finito, es decir $|F|=p^e$ y $p^k \equiv n \bmod p^e-1$ $k$,
• o $F$ es infinito y $n$ es una potencia de p$$.

Prueba. Primero nos tenga en cuenta que si $a \mapsto a^n$ es aditivo, es en realidad un campo de homomorphism (ya que es multiplicativa de todos modos). De ello se sigue que si $F=\mathbb{F}_p$ para un primer $p$ es el mapa aditivo iff es la identidad iff $a^{n-1} = 1$ para todo $a \in \mathbb{F}_p^*$ ffi $p-1\mediados de los n-1$, con $\mathbb{F}_p^*$ es cíclico.

Si más general $F=\mathbb{F}_{p^e}$ es un campo finito, el mapa es aditivo iff es igual a uno de los elementos de $\mathrm{Ga}(\mathbb{F}_{p^e}/ \mathbb{F}_p)$. Este grupo es cíclica, es decir, generado por el Frobenius. Por lo tanto, la condición se convierte en $\forall\, F : a^n = a^{p^k}$ $k$. Podemos suponer que $a \in F^*$ aquí. El uso que $F^*$ es cíclica, esto se reduce a $p^k \equiv n \bmod p^e -1$.

Ahora vamos a $F$ ser un infinito campo, y considere la ecuación $(a+b)^n=a^n + b^n$ de $F$. Es trivial para $b=0$. Si $b \neq 0$, podemos muy bien suponer $b=1$ dividiendo $b^n$ en ambos lados. Por lo tanto, se reduce a $(a+1)^n = a^n+1$, que se convierte en $P|_F=0$ para $P(x)=\sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} x^k$. Dado que $F$ es infinito, esto implica $P=0$, es decir $\binom{n}{k}=0$ para todo $0 < k < n$. En particular, $n=\binom{n}{1}=0$ $F$, y vemos que $F$ ha característica positiva de $p$. Pero entonces estas ecuaciones ya tienen en $\mathbb{F}_p$, y tenemos $\binom{n}{k} \equiv 0 \bmod p$ para $0<k<n$. Ahora es bien sabido que $$ n es una potencia de p$$: Escribir $n = p^v m$ con $p \nmid m$. Dado que $a \mapsto a^{p^v}$ es inyectiva y aditivos, se sigue que $(a+b)^m=a^m+b^m$. Por el mismo razonamiento anterior, de la siguiente manera $\binom{m}{k} \equiv 0 \bmod p$ para todo $0<k<m$. Pero desde $\binom{m}{1}=m \no\equiv 0 \bmod p$, se sigue que $m=1$. $\square$

La condición es, en ambos casos, $n \bmod \exp(F^*)$ es una potencia de p$$. Aquí, definimos el exponente $\exp(G)$ de un grupo a ser no negativo del generador del ideal de $\{z \in \mathbb{Z} : \forall g \in G : g^z=1\}$. Si $F$ es un campo finito, $\exp(F^*)=|F|-1$, si $F$ es un infinito campo, entonces $\exp(F^*)=0$.