Consolidados en el primer derivado $\max \left(\frac{|f'(x)|^2}{f(x)} \right) \le 2 \max |f''(x)|$

Question

Quiero mostrar que para una función de $f \in C_c^2((a,b))$ no negativo, la desigualdad $$\sup \left(\frac{|f'(x)|^2}{f(x)} \right) \le 2 \sup |f''(x)|$$ sostiene.

Me di cuenta de que el término izquierda es igual a $2 |\sqrt{f(x)}'|^2.$ Así que la pregunta es equivalente a: puedo enlazado este término sólo por la segunda derivada? En la actualidad, no veo cómo podría funcionar esto.

El problema también estoy teniendo con el ejercicio es que tenemos problemas si $f(x)=0$ causa, entonces podemos dividir cero por cero en el lado izquierdo y no es inmediato, para mí que el límite es finito.

Si algo no está claro, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Tengo prueba de uso por la contradicción;

Assmue fórmula de exsit $x_{0}\in [a,b]$ $$\dfrac{f'^2(x_{0})}{f(x_{0})}>2\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|\Longrightarrow 1-\dfrac{2f(x_{0})f''(\theta)}{f'(x_{0})}<0,\forall \theta\in[a,b]$ $ uso Taylor, hay

$$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\dfrac{f''(\theta)}{2}(x-x_{0})^2,\theta\in [a,b]$$ Let $x-x_{0}=-\dfrac{2f(x_{0})}{f'(x_{0})}$

entonces tenemos\begin{align*}f(x)&=f(x_{0})-2f(x_{0})+\dfrac{f''(\theta)}{2}\cdot\dfrac{4f^2(x_{0})}{f'^2(x_{0})}\\ &=-f'(x_{0})\left(1-\dfrac{2f(x_{0})f''(\theta)}{f'(x_{0})}\right)\\ &<0 \end{align*} contradicción