Que sea $F \rightarrow E \rightarrow B$ ser un fibrado donde $B$ es conectado por el camino y los tres espacios son compactos. ¿Es una simple prueba de que $\chi(E)=\chi(F) \chi(B)$? ¿Dónde podría encontrar? Denotan $\chi$ la característica de Euler.
Respuesta
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La prueba de que sé que se sigue de la Serre espectral de la secuencia. Deje $k$ ser un campo, y supongamos que $\pi_1(B)$ actos trivialmente en $H_*(F;k)$. (Claramente, también es necesario asumir que $\chi(F)$ $\chi(B)$ existe!). El $E_2$ plazo de la Serre espectral de la secuencia se convierte en $$E_2^{s,t} \simeq H_s(B;k) \otimes H_t(F;k)$$
Ahora necesitamos definir la característica de Euler de la $r$-th página de la secuencia espectral. Este es $$\chi(E^r) = \sum_{s,t} (-1)^{s+t} \text{dim}E^r_{s,t}$$
Por lo $\chi(E^2) = \chi(B)\chi(F)$.
Ahora uno puede mostrar que $\chi(E^2) = \chi(E^3) = \cdots$, y dado que por hipótesis el espectro de la secuencia se derrumba por lo suficientemente grande como $r$ tenemos que $\chi(E^2) = \chi(E^\infty)$. Por último show que $\chi(E^\infty) = \chi(E)$. Poniendo todo esto junto le da lo que quiere.
Para obtener más detalles, consulte Spanier - Topología Algebraica, pp 481-482
