¿Puede una matriz simétrica representarse siempre como la suma de una matriz definida positiva y otra negativa?

Question

Me preguntaba si es posible descomponer cualquier matriz simétrica en una componente definida positiva y otra definida negativa. No se me ocurre ningún contraejemplo si la afirmación es falsa.

Answer 1

Si $X$ es simétrico entonces $X = (X + \lambda I) - \lambda I$ . Dado que los valores propios de $X + \lambda I $ son $ \lambda_i + \lambda$ donde $\lambda_i$ son los valores propios de X podemos encontrar un $\lambda$ tal que $(X + \lambda I)$ es positiva definida.

Answer 2

Sí, vea uno de mis pregunta s con los detalles. Voy a escribir un poco más:

Dado $A$ tal que $A = A^\top$ , $A$ con valores propios tanto positivos como negativos, la factorización LDU tendrá $U=L^\top$ (se deduce directamente de la simetría) y $D$ diagonal con valores positivos y negativos. Así que $$A=L(D_p + D_n)L^\top$$

donde $D$ se separa en la parte positiva $D_p$ y la parte negativa $D_n$ . Tienen todos los valores positivos o todos los valores negativos y ceros. Así, cuando la matriz se descompone como

\begin{align} A &= LD_pL^\top + LD_nL^\top \\ &= P + N \\ \end{align}

se separa con $P$ simétrica semidefinida positiva, y $N$ simétrica semidefinida negativa.

Como se ha señalado en los comentarios $0=-1 + 1$ . Por lo tanto, para obtener la definición de ambos, haga algo para $D_p + D_n$ para hacerlo realidad mientras se conserva el valor de $D = D_p + D_n$ .

Answer 3

Esta respuesta llega con años de retraso, pero me gusta esta demostración. El conjunto de las matrices definidas positivas es abierto en el conjunto de las matrices simétricas y por lo tanto debe contener $\frac{n(n+1)}{2}$ matrices que son linealmente independientes. Tomemos esto como base para el espacio vectorial de las matrices simétricas. Entonces cada elemento puede escribirse como una combinación lineal de matrices definidas positivas, y podemos simplemente agrupar los elementos de la base por los coeficientes positivos y los coeficientes negativos, lo que nos da que una matriz simétrica M puede escribirse como la suma de una matriz definida positiva y la negación de una matriz definida positiva.