¿Cómo puedo evaluar esta integral indefinida? $\int\frac{dx}{1+x^8}$

Question

¿Cómo puedo encontrar $\displaystyle\int\dfrac{dx}{1+x^8}$?

Mi amigo me pidió encontrar un entero positivo $\displaystyle\int\dfrac{dx}{1+x^{2n}}$ $n$. Pero buscando me estoy poniendo bastante ruidosa respuesta para un valor general.

He visto que $\displaystyle\int\dfrac{dx}{1+x^6}$ se puede separar en fracciones parciales debido al factor impar de $6$. Así que tengo curiosidad qué es el algoritmo para calcular la integral $n$ poder de $2$.

Answer 1

$$x^8+1=x^8+2x^4+1-2x^4=(x^4+1)^2-2x^4=(x^4+\sqrt{2}x^2+1)(x^4-\sqrt{2}x^2+1)$$

$$x^4 \pm \sqrt{2}x^2+1= x^4+2x^2+1 -(2 \pm \sqrt{2})x^2=(x^2+1 -\sqrt{2 \pm \sqrt{2}}x)(x^2+1 +\sqrt{2 \pm \sqrt{2}}x)$$

Por lo tanto $$x^8+1=(x^2+1 -\sqrt{2 + \sqrt{2}}x)(x^2+1 +\sqrt{2 + \sqrt{2}}x)(x^2+1 -\sqrt{2 - \sqrt{2}}x)(x^2+1 +\sqrt{2 - \sqrt{2}}x)

Ahora la fracción parcial descomposición es feo pero es factible.