Variante de Serre criterio para affineness

Question

Deje $X$ ser un esquema. Usted puede asumir que es bastante agradable, tal vez finitos tipo sobre un campo $k$ y liso. En mi aplicación $X$ no está separado, a priori.

Asumir que cada coherente gavilla en $X$ es generado por el mundial de secciones. De lo anterior se sigue que el $X$ es cuasi-afín?

Answer 1

Usted puede tomar cualquier esquema de $X$ finito de tipo más de un noetherian afín esquema de $S$. La condición en la generación global de las secciones dice exactamente eso $O_X$ es amplio (EGA II, 4.5.5(d)). La existencia de una invertible amplio gavilla implica $X$ está separado.

Por EGA, II.5.1.2, $X$ es cuasi-afín. De hecho, como $O_X$ es relativamente amplio para $X\to S$ (EGA, loc.cit.), $X$ está abierto en una afín esquema finito de tipo más de $S$.