Ejemplo de un *homorfismo que es fiel en una *subálgebra densa, pero no en todas partes

Question

Sea $A,B$ sean álgebras C* y sea $\varphi: A \to B$ ser un $*$ -homorfismo. Supongamos que $\ker( \varphi) \cap D = \{0\}$ donde $D$ es una densa $*$ -subálgebra de $A$ . ¿Se deduce que $\varphi$ es inyectiva?

Estoy bastante seguro de que la respuesta es "no". En varias ocasiones he tenido que pasar de la inyectividad en una subálgebra densa a la inyectividad en toda el álgebra, pero esto siempre ha implicado situaciones muy específicas o hipótesis adicionales. Sin embargo, creo que nunca he visto un ejemplo que demuestre que esto es generalmente falso.

Añadido: En retrospectiva, la siguiente formulación equivalente de esta pregunta habría sido ligeramente más limpia.

Encontrar un ideal cerrado distinto de cero $I$ en una álgebra C $A$ tal que $D \cap I = \{0\}$ para alguna densa $*$ -subálgebra $D \subset A$ ?

Jonas Meyer pone un ejemplo muy sencillo. Tome $A=C[0,2]$ , $I$ es el ideal de las funciones que desaparecen en $[0,1]$ y $D$ son las funciones polinómicas en $A$ .

Un ejemplo más elaborado se obtiene tomando $A=C^*(G)$ el grupo completo C*-álgebra de un grupo discreto noamenable $G$ ; $D = \mathbb{C} G$ la copia del álgebra de grupo en $A$ y $I$ para ser el núcleo de la proyección al grupo reducido C*-álgebra $C^*_r(G)$

La respuesta de None parece errónea.

Answer 1

Si $A=C[0,2]$ et $B=C[0,1]$ define $\phi:A\to B$ sea el mapa de restricción $\phi(f)=f|_{[0,1]}$ . Sea $D\subset A$ sea el álgebra de funciones polinómicas sobre $[0,2]$ .

Puis $\ker(\phi)\cap D=\{0\}$ porque ninguna función polinómica distinta de cero desaparece en $[0,1]$ . Sin embargo, $\phi$ no es inyectiva porque, por ejemplo, envía la función continua no nula $f(t)=\max\{0,t-1\}$ en $[0,2]$ a la función cero en $[0,1]$ . Tenga en cuenta que $D$ es denso por el teorema de aproximación de Weierstrass.

Answer 2

Un ejemplo un poco artificioso:

Consideremos la subálgebra densa $S = S[0,1]$ de funciones simples en $L^\infty = L^\infty[0,1]$ y la subálgebra cerrada $C = C[0,1]$ de $L^\infty$ . Observe que $S \cap C = \mathbb{C}$ .

Así, el homomorfismo cociente $L^\infty \to L^\infty/ C$ es casi inyectiva en $S$ matando sólo las funciones constantes $\mathbb{C}$ .

Podemos remediar este pequeño defecto factorizando las funciones constantes.

Entonces: set $A = L^\infty[0,1]/\mathbb{C}$ , $D = S/\mathbb{C}$ et $B = (L^\infty/\mathbb{C})\,{\large /}\,(C/\mathbb{C}) \cong L^\infty[0,1]\,/\,C[0,1]$ .

Puis $D$ es una subálgebra densa de $A$ y el homomorfismo cociente $\varphi\colon A \to B$ es inyectiva cuando se restringe a $D$ mientras que $\ker{\varphi} = C[0,1]/\mathbb{C}$ .