Un problema sobre límites

Question

En parece

$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n-1}\binom{n}{r-1} \sum_{j=0}^{n-r+1} (-1)^j \binom{n-r+1}{j} \frac{1}{r+j+1}$

es $\frac{1}{2}$. Aquí hay un gráfico de la función para $n \leq 300$:

Pero no puedo demostrarlo. ¿Alguna pista?

Answer 1

$\begin{align} S(n) &=\sum_{r=1}^{n-1}\binom{n}{r-1} \sum_{j=0}^{n-r+1} (-1)^j \binom{n-r+1}{j} \frac{1}{r+j+1}\\ &= \sum_{r=0}^{n-2}\binom{n}{r} \sum_{j=0}^{n-r} (-1)^j \binom{n-r}{j} \frac{1}{r+j+2}\\ \text{(reemplazando }r \text{ por } n-r)\quad&= \sum_{r=2}^{n}\binom{n}{r} \sum_{j=0}^{r} (-1)^j \binom{r}{j} \frac{1}{n-r+j+2}\\ (D \text{ descrito abajo) }\quad&= D+\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r} \sum_{j=0}^{r} (-1)^j \binom{r}{j} \frac{1}{n-r+j+2}\\ \text{(reemplazando } j \text{ por } r-j)\quad&= D+\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r} \sum_{j=0}^{r} (-1)^{r-j} \binom{r}{j} \frac{1}{n-j+2}\\ \text{(cambiando orden de sumas) }\quad&= D+\sum_{j=0}^{n}\sum_{r=j}^{n}\binom{n}{r} (-1)^{r-j} \binom{r}{j} \frac{1}{n-j+2}\\ \quad&=D+ \sum_{j=0}^{n}\frac{(-1)^{j}}{n-j+2}\sum_{r=j}^{n} (-1)^{r}\binom{n}{r}\binom{r}{j} \\ \text{ (poniendo } n-r \text{ por } r)\quad&=D+ \sum_{j=0}^{n}\frac{(-1)^{j}}{n-j+2} \sum_{r=0}^{n-j}(-1)^{n-r}\binom{n}{n-r}\binom{n-r}{j} \\ \text{ (poniendo } n-j \text{ por } j)\quad&= D+\sum_{j=0}^{n}\frac{(-1)^{n-j}}{j+2} \sum_{r=0}^{j}(-1)^{n-r}\binom{n}{n-r}\binom{n-r}{n-j} \\ &= D+\sum_{j=0}^{n}\frac{(-1)^{j}}{j+2} \sum_{r=0}^{j}(-1)^{r}\frac{n!(n-r)!}{(n-r)!r!(n-j)!(j-r)!} \\ &= D+n!\sum_{j=0}^{n}\frac{(-1)^{j}}{(n-j)!(j+2)} \sum_{r=0}^{j}(-1)^{r}\frac{1}{r!(j-r)!} \\ &= D+n!\sum_{j=0}^{n}\frac{(-1)^{j}}{j!(n-j)!(j+2)} \sum_{r=0}^{j}(-1)^{r}\frac{j!}{r!(j-r)!} \\ &= D+\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\frac{(-1)^{j}}{j+2} \sum_{r=0}^{j}(-1)^{r}\binom{j}{r} \\ \text{(ya que }\sum_{r=0}^{j}(-1)^{r}\binom{j}{r}=0 \text{ para }j > 0)\quad &= D+\frac{1}{2}\\ \end{align} $

$D= -\sum_{r=0}^1\binom{n}{r}\sum_{j=0}^{r} (-1)^{r-j} \binom{r}{j} \frac{1}{n-j+2} $.

Si $r=0$, $\binom{n}{r}\sum_{j=0}^{r}(-1)^{r-j} \binom{r}{j} \frac{1}{n-j+2} =\binom{n}{0}\binom{0}{0} \frac{1}{n+2} =\frac{1}{n+2} $.

Si $r=1$, $\binom{n}{r}\sum_{j=0}^{r} (-1)^{r-j} \binom{r}{j} \frac{1}{n-j+2} =\binom{n}{1}\left(-\binom{1}{0} \frac{1}{n+2}+\binom{1}{1} \frac{1}{n+1}\right) =n\left(-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+1}\right) =n\left(\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) =\frac{n}{(n+1)(n+2)} $.

Entonces $D =-\frac{1}{n+2} -\frac{n}{(n+1)(n+2)} =\frac{-(n+1)-n}{(n+1)(n+2)} =\frac{-2n-1}{(n+1)(n+2)} =-\frac{2n+1}{(n+1)(n+2)} $.

Por lo tanto $S(n) = \frac12-\frac{2n+1}{(n+1)(n+2)} $.

¡Dios mío!!!!!

No puedo creer que toda esta álgebra haya dado como resultado algo que parece correcto!

Nota: para comparar mi resto con el de user71352, $\frac{2n+1}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{n+1} =\frac{2n+1-(n+2)}{(n+1)(n+2)} =\frac{n-1}{(n+1)(n+2)} $.

Una computación podría decidir cuál es correcto, pero, considerando la complejidad relativa de las soluciones, la mía tiene mayor probabilidad de estar equivocada.

(Añadido posteriormente)

Pero no lo estaba. Sorprendentemente (para mí), la mía era la correcta.

Se siente bien.

Sabía que lo sería.

Answer 2

Señalar que $\int_{0}^{1}x^{r+j}dx=\frac{1}{r+j+1}$.

Entonces la suma se convierte en:

$\sum_{r=1}^{n-1}\binom{n}{r-1}\sum_{j=0}^{n-r+1}\binom{n-r+1}{j}(-1)^{j}\int_{0}^{1}x^{r+j}dx$

$=\int_{0}^{1}\sum_{r=1}^{n-1}\binom{n}{r-1}\sum_{j=0}^{n-r+1}\binom{n-r+1}{j}(-1)^{j}x^{r+j}dx$

$=\int_{0}^{1}\sum_{r=1}^{n-1}\binom{n}{r-1}x^{r}\big(\sum_{j=0}^{n-r+1}\binom{n-r+1}{j}(-x)^{j}\big)dx$

$=\int_{0}^{1}\sum_{r=1}^{n-1}\binom{n}{r-1}x^{r}(1-x)^{n-r+1}dx$

$=\int_{0}^{1}\sum_{r=0}^{n-2}\binom{n}{r}x^{r+1}(1-x)^{n-r}dx$

$=\int_{0}^{1}x\sum_{r=0}^{n-2}\binom{n}{r}x^{r}(1-x)^{n-r}dx=\int_{0}^{1}x\big((x+(1-x))^{n}-nx^{n-1}(1-x)-x^{n}\big)dx$

$=\int_{0}^{1}x\big(1-nx^{n-1}+nx^{n}-x^{n}\big)dx=\int_{0}^{1}xdx-n\int_{0}^{1}x^{n}dx+n\int_{0}^{1}x^{n+1}dx-\int_{0}^{1}x^{n+1}dx$

$=\frac{1}{2}-\frac{n}{n+1}+\frac{n}{n+2}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}+\frac{-n}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{2n+1}{(n+1)(n+2)}$

$=\frac{1}{2}-\frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}\cdot\frac{1}{n+2}$.

Por lo tanto, $\lim_{n\to\infty}\sum_{r=1}^{n-1}\binom{n}{r-1}\sum_{j=0}^{n-r+1}(-1)^{j}\binom{n-r+1}{j}\big(\frac{1}{r+j+1}\big)=\frac{1}{2}$.

Answer 3

Nota que la $n^\text{th}$ diferencia hacia adelante de $1/x$ es $$ \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\frac1{k+x}=\frac{n!}{x(x+1)(x+2)\dots(x+n)}\tag{1} $$ Para demostrar $(1)$, aplica el Método de Heaviside para Fracciones Parciales al lado derecho, como se hace en esta respuesta con $f(j)=1.

Usa $(1)$ con $n\mapsto n-r+1$, luego establece $x=r+1$ para obtener el primer paso a continuación: $$ \begin{align} &\sum_{r=1}^{n-1}\binom{n}{r-1} \sum_{j=0}^{n-r+1}(-1)^j\binom{n-r+1}{j}\frac1{r+j+1}\\ &=\sum_{r=1}^{n-1}\binom{n}{r-1} \frac{(n-r+1)!\,r!}{(n+2)!}\\ &=\sum_{r=1}^{n-1}\frac{r}{(n+1)(n+2)}\\ &=\frac12\frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)}\tag{2} \end{align} $$ Tomando el límite cuando $n\to\infty$ obtenemos $\frac12$.