Demostrar que $\frac{1}{2}\le \sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{n+k}\le1$

Question

Para $n\in \mathbb N^+$

$$\frac{1}{2n}\le \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{n+n}}{n}\le\frac{1}{n}$$

Intenté la inducción matemática y traté de tomar la integral pero quiero resolver esto con los métodos más elementales por favor denme una pista o simplemente muestren eso. Gracias....

Answer 1

Se mantiene cuando $k=1$ $$\frac { 1 }{ n+1 } +\frac { 1 }{ n+2 } +...+\frac { 1 }{ 2n } \ge \overset { n }{ \overbrace { \frac { 1 }{ 2n } +\frac { 1 }{ 2n } +...\frac { 1 }{ 2n } } } =n\frac { 1 }{ 2n } =\frac { 1 }{ 2 } \\ \\ \frac { 1 }{ n+1 } +\frac { 1 }{ n+2 } +...+\frac { 1 }{ 2n } \le \overset { n }{ \overbrace { \frac { 1 }{ n+1 } +\frac { 1 }{ n+1 } +...+\frac { 1 }{ n+1 } } } =\frac { n }{ n+1 } \le 1\\ $$

Answer 2

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\,{#1}\,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,\mathrm{Li}_{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

La suma debe ser de hasta $\ds{\pars{n - 1}}$ con $\pars{n \geq 1}$ :

\begin{align} \begin{array}{rcccl} \ds{\sum_{k = 0}^{n - 1}{1 \over n + n}} & \ds{<} & \ds{\sum_{k = 0}^{n - 1}{1 \over k + n}} & \ds{<} & \ds{\sum_{k = 0}^{n - 1}{1 \over 0 + n}} \\[2mm] \ds{\half} & \ds{<} & \ds{\sum_{k = 0}^{n - 1}{1 \over k + n}} & \ds{<} & \ds{1} \\[2mm] \ds{1 \over 2n} & \ds{<} & \ds{{1 \over n}\sum_{k = 0}^{n - 1}{1 \over k + n}} & \ds{<} & \ds{1 \over n} \end{array} \end{align}

Answer 3

No sé si es sencillo para ti, pero es una manera. Usando El resumen de Abel obtenemos $$S=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+\int_{0}^{n}\frac{\left\lfloor t\right\rfloor +1}{\left(n+t\right)^{2}}dt $$ $$=\frac{1}{2}+\frac{1}{n}+\int_{0}^{n}\frac{\left\lfloor t\right\rfloor }{\left(n+t\right)^{2}}dt $$ donde $\left\lfloor t\right\rfloor $ es la función suelo y como $t-1\leq\left\lfloor t\right\rfloor \leq t $ obtenemos $$\frac{1}{2n}+\log\left(2\right)\leq S\leq\frac{1}{n}+\log\left(2\right) $$ de ahí la afirmación de que si $n\geq3$ .

Answer 4

Mostramos la cadena de desigualdades \begin{align*} \frac{1}{2}\leq\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+n}\leq 1\qquad\qquad\qquad n\geq 1\tag{1} \end{align*}

es no es válido para $n=1,2$ y válido para $n\geq 3$ .

Denotamos la suma con $A(n):=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+n}$ .

Caso $n=1,2,3$ :

\begin{align*} A(1)&=\sum_{k=0}^1\frac{1}{k+1}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>1\\ A(2)&=\sum_{k=0}^2\frac{1}{k+2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}>1\\ A(3)&=\sum_{k=0}^3\frac{1}{k+3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{19}{20}<1\\ \end{align*}

Observamos $A(1)$ y $A(2)$ son mayores que $1$ , mientras que $\frac{1}{2}\leq A(3)\leq 1$ .

Conclusión:

• La cadena de desigualdades (1) no es válida para $n=1,2$ .

• Desde $\frac{1}{2}\leq A(3)=\frac{19}{20}\leq 1$ la cadena de desigualdades (1) es válida para $n=3$ .

$$ $$

Monotonicidad de $A(n)$ :

Queremos comparar $A(n)$ con $A(n+1)$ . Obtenemos para $n\geq 1$

\begin{align*} A(n+1)&=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k+n+1}\\ &=\sum_{k=1}^{n+2}\frac{1}{n+k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n}\\ &=A(n)+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n} \end{align*}

Si consideramos con ayuda de Wolfram Alpha la función $$f(x)=\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2x+2}-\frac{1}{x}$$ con $x$ real, vemos que sólo hay un cero en $x=-\frac{2}{3}$ . Desde $f(1)=-\frac{5}{12}$ la función es negativo para $x\geq 1$ y así

\begin{align*} A(n+1)-A(n)=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n}<0\qquad\qquad n\geq 1 \end{align*}

Conclusión:

• $A(n)$ es monótona disminuyendo con el aumento de $n$ .

• Desde $A(3)\leq 1$ vemos que $1$ es un límite superior de $A(n)$ para $n\geq 3$ .

Por último, mostramos $\frac{1}{2}$ es un límite inferior de $A(n)$ .

Números armónicos $H_n$ :

Tenga en cuenta que $A(n)$ está estrechamente relacionado con números armónicos $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ .

Obtenemos \begin{align*} A(n)=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+n}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=H_{2n}-H_{n-1}\qquad\qquad n\geq 1 \end{align*}

Los números armónicos son asintóticamente iguales a \begin{align*} H_n\sim \ln n+\gamma \end{align*} con $\gamma$ el _Constante de Euler . Obtenemos \begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}A(n)&=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(H_{2n}-H\{n-1}\right)\\ &\sim \ln(2n)+\gamma-\ln(n-1)-\gamma\\ &\sim\ln 2 \end{align*}

Conclusión:

• Desde $\ln 2\doteq 0.69314>\frac{1}{2}$ vemos $A(n)\geq\frac{1}{2}$ para todos $n\geq 3$ .

$$ $$

Resumen:

• La cadena de desigualdades (1) no es válida para $n=1,2$ y válido para todos los $n\geq 3$ .

• La suma es monótonamente decreciente con el aumento de $n$ . $$\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+n}\searrow$$

• El límite de la suma es $\ln 2$ .

  $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+n}=\ln 2$$