¿Cómo puedo saber si dos funciones son conjugadas en el grupo de homeomorfismo de $\mathbb{S}^n$ ?

Question

Supongamos que tenemos dos funciones $f,g:\mathbb{S}^n\to\mathbb{S}^n$ que son biyectivas, continuas y tienen una inversa continua (también conocida como bicontinuo ). Son conjugados en el grupo de homeomorfismo cuando hay otra función bicontinua $c:\mathbb{S}^n\to\mathbb{S}^n$ tal que

$$f\circ c = c\circ g.$$

Me interesan sobre todo los resultados que proporcionan condiciones suficientes para saber cuándo $f$ y $g$ permitir esto ecuación sea cierta (es decir, cuando tal $c$ existe).

También tengo curiosidad (no es la pregunta principal) si hay una clasificación de todas las clases de conjugación para este grupo.

Answer 1

No veo la necesidad de introducir el término función bicontinua cuando ya tenemos homeomorfismo . Su pregunta se refiere a la clasificación de los homeomorfismos hasta conjugación topológica . Veamos $n=1$ primero.

Definición . Un homeomorfismo $f: X\to X$ es transitivo si para dos conjuntos abiertos no vacíos $U,V\subset X$ hay un número entero positivo $n$ tal que $f^n(U)\cap V\ne\varnothing$ .

Teorema (Poincaré). Cualquier homeomorfismo transitivo $f:S^1\to S^1$ es topológicamente conjugado con la rotación de $S^1$ por un múltiplo irracional de $\pi$ .

Desde el número de rotación es invariante bajo conjugación topológica, el teorema de Poincaré da una clasificación completa de los homeomorfismos transitivos del círculo: son topológicamente conjugados si y sólo si tienen el mismo número de rotación.

La situación es más complicada para los homeomorfismos no transitivos con un número de rotación irracional. Sin embargo, Denjoy demostró que un $C^1$ -El difeomorfismo con derivada de variación acotada es topológicamente conjugado a la rotación irracional siempre que tenga el irracional .

Cuando el número de rotación es racional, la conjugación topológica es mucho más difícil de obtener, porque tiene que preservar la estructura de todas las órbitas periódicas. Véase Conjugación de dos difeomorfismos de círculo . En particular, cualquier homeomorfismo conjugado a la rotación por un múltiplo racional de $\pi$ debe ser periódico Es decir, que.., $f^n$ es la identidad para algún $n$ . En dimensiones de hasta $2$ lo contrario también es cierto:

Teorema (Kerékjártó, Brouwer, Eilenberg) Todo homeomorfismo periódico de $S^2$ es topológicamente conjugado con un movimiento rígido de $S^2$ .

Esto ya no es cierto en las dimensiones superiores.

Se pueden encontrar más resultados sobre la clasificación topológica de los homeomorfismos en:

1. Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos por Katok y Hasselblatt
2. Introducción a la teoría cualitativa de los sistemas dinámicos sobre superficies por Aranson, Belitskii, Zhuzhoma.

Otras lecturas:

• Introducción a la teoría de la rotación de Christian Kuehn, una explicación accesible de los números de rotación con animaciones integradas.
• Sistemas dinámicos diferenciables , un influyente estudio del tema (que no se limita a una sola dimensión) realizado por Stephen Smale.

Gran parte de la investigación en esta área está motivada por la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales (sistemas dinámicos), y por lo tanto se refiere a la conjugación topológica de difeomorfismos .