Homología de tori y el Teorema del Coeficiente Universal

Question

Estoy trabajando en algo que involucra a los toros, y específicamente estoy buscando el primer grupo de homología del $n$ -con coeficientes en $ \mathbb {Z}_2 = \mathbb {Z}/2 \mathbb {Z}$ . Sin embargo, el Teorema del Coeficiente Universal y las herramientas algebraicas necesarias (productos tensores de los módulos, el functor Tor, etc.) no se trataron en mi clase de topología algebraica el año pasado, así que sólo te pido que compruebes y veas si he entendido las cosas correctamente.

Con $n$ -torus quiero decir $ \mathbb {T}^n := (S_1)^n$ . Entonces sabemos que $$H_m ( \mathbb {T}^n, \mathbb {Z}) = \mathbb {Z}^{ \binom {n}{m}}$$ (¿cierto?), así que en particular $$H_1 ( \mathbb {T}^n, \mathbb {Z} ) = \mathbb {Z}^n.$$

Ahora consideramos la secuencia exacta en el teorema del coeficiente universal; creo que el término Tor $ \mathrm {Tor}( \mathbb {Z}^m, \mathbb {Z}_2)$ se desvanece por cualquier $m$ ya que $ \mathbb {Z}^m$ es libre. ¿Correcto?

Esto entonces produce un isomorfismo $$H_1( \mathbb {T}^n, \mathbb {Z}_2) = H_1( \mathbb {T}^n, \mathbb {Z}) \otimes \mathbb {Z}_2 = ( \mathbb {Z}_2)^n,$$ desde $ \mathbb {Z}^m \otimes \mathbb {Z}_2 = ( \mathbb {Z}_2)^m$ para cualquier $m$ . ¿Esto también es correcto?

¡Gracias por su tiempo!

Answer 1

Todo esto es correcto, pero es conceptualmente más complicado de lo que debe ser para computar el primer grupo de homología del $n$ -torus. El $n$ -Toro es un producto de $n$ círculos, y por lo tanto tiene una estructura celular que consiste en un vértice, $n$ bordes, etc., con $ \displaystyle\binom {n}{k}$ células en dimensión $k$ . (Este es el $n$ -producto de la estructura celular en el círculo que tiene un vértice y un borde.) Cada una de estas células tiene un límite trivial, por lo que obtenemos el siguiente complejo de cadena: $$ \mathbb {Z}_2 \;\; \xrightarrow {\;\;0\;\;}\;\; \cdots \;\; \xrightarrow {\;\;0\;\;}\;\; \mathbb {Z}_2^ \binom {n}{2} \;\; \xrightarrow {\;\;0\;\;}\;\; \mathbb {Z}_2^n \;\; \xrightarrow {\;\;0\;\;}\;\; \mathbb {Z}_2 $$ Por lo tanto, $H_1( \mathbb {T}^n, \mathbb {Z}_2) \cong \mathbb {Z}_2^n$ y más generalmente $H_k( \mathbb {T}^n,A) \cong A^ \binom {n}{k}$ para cualquier grupo abeliano $A$ .