Cuando he estado $(a\cdot b) \cdot c = (a \cdot c) \cdot b$ , estoy utilizando sólo la propiedad conmutativa o ambos a la propiedad conmutativa y asociativa de la propiedad?
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iturki
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La identidad
$(a \cdot b) \cdot c = (a \cdot c) \cdot b$
se puede probar usando tanto la conmutatividad y la asociatividad.
Si la estructura tiene una identidad, entonces la declaración implica tanto la conmutatividad y la asociatividad.
Para conmutatividad. Deje $b$ $c$ cualquier elemento. Deje $a$ de identidad, para $\cdot$, luego
$ b \cdot c = (a \cdot b) \cdot c = (a \cdot c) \cdot b = c \cdot b$
Ahora para mostrar la asociatividad:
$(a \cdot b) \cdot c$
Por conmutatividad se muestra arriba
$ = (b \cdot a) \cdot c$
Por la declaración de
$= (b \cdot c) \cdot a$
Por conmutatividad
$= a \cdot (b \cdot c)$
Por lo tanto la asociatividad de la siguiente manera.
En conclusión, si hay una seña de identidad de $\cdot$, conmutatividad y asociatividad de la siguiente manera.
De hecho, si no hay identidad, entonces no se puede demostrar la conmutatividad.
Considere los dos element set $\{x,y\}$ con la multiplicación se define por $x \cdot x = x$, $y \cdot y = y$, $x \cdot y = x$ y $y \cdot x = y$. Tenga en cuenta que la multiplicación no es conmutativa y no tiene identidad. Sin embargo, el valor del producto depende sólo de lo que el primer elemento del producto. Por lo tanto es fácil comprobar que la declaración sostiene que en esta estructura.
Sin embargo, la asociatividad se sostiene en esta estructura. Siento que la declaración no debe ser capaz de demostrar la asociatividad. Si me puede venir para arriba con un contador de ejemplo, voy a publicar más tarde.
Si te refieres a si la declaración está publicando depende de la conmutatividad y la asociatividad, sí: depende de ambos. Estoy asumiendo $a, b, c \in \mathbb R$ y que por "$\cdot$" que significa "estándar" de la multiplicación:
$$\begin{align}(a\cdot b)\cdot c & = a\cdot (b\cdot c) \tag{by associativity}\\ \\ & = a\cdot (c \cdot b) \tag{by commutativity}\\ \\ & = (a \cdot c) \cdot b \tag{by associativity}\end{align}$$
CodingBytes
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Hasta ahora nadie ha dado contraejemplos mostrando que la asociatividad solo o conmutatividad por sí solos no son suficientes para garantizar la $(a\cdot b)\cdot c=(a\cdot c)\cdot b$.
La multiplicación de $(n\times n)$-matrices ciertamente es asociativa, pero no conmutativa cuando $n\geq2$. Elige cualquiera de los dos no conmutan $(2\times2)$-matrices $b$$c$, y deje $a$ $(2\times2)$ matriz identidad. A continuación,$(a\cdot b)\cdot c\ne(a\cdot c)\cdot b$.
Para los números complejos $z$, $w$ definir $$z\ *\ w:=\overline{z\cdot w}\ .$$ Este producto es, sin duda conmutativa, sino $(1*1)*i\ne(1*i)*1$.
eljenso
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Otro conjunto de ejemplos de satisfacciones $(ab)c=(ac)b$ se da en cualquier conjunto $S$ definiendo $xy=x$ todos los $x,y \in S$. Si $S$ tiene más de un elemento, esto no es conmutativa (ni tiene un doble elemento de identidad). Sin embargo, es asociativa.
Para un no asociativo de ejemplo, se $x \cdot y=x-y$$\mathbb{R}$, y, a continuación, la relación $(ab)c=(ac)b$ hace $(a-b)-c=(a-c)-b.$
Acabo de notar: la resta no es conmutativa, por lo que da un solo ejemplo en el que la relación se mantiene, pero no es ni conmutativa ni asociativa.
