Galois de la extensión de $\mathbb{Q}_2$ con grupo de Galois $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$

Question

Estoy tratando de resolver este ejercicio: Demostrar que $\mathbb{Q}_2$ tiene una única extensión de Galois de F con grupo de Galois $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$. Calcular es la ramificación de los grupos.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Im que va a utilizar el siguiente lema: Si F tiene el residuo de la clase grados f y, a continuación, contiene $K=\mathbb{Q}_2(\zeta_{q^f-1})$ y F/K es totalmente ramificado, mientras que $K/\mathbb{Q}_2$ es unramified. La extensión es de grado 8, y así ha residuo de clase grado f = 1,2,4 u 8.

f=8: Esto no puede suceder ya que unramified extensiones de $\mathbb{Q}_2$ tienen cíclicos grupo de Galois.

f=4: Esto no puede suceder, ya que la extensión tiene un unramified parte de orden 4, que es $\mathbb{Q}_2(\zeta_{15})/\mathbb{Q}_2$ y el grupo de Galois de esta extensión es cíclico de orden 4. (F no tiene ningún elemento de orden 4)

f=2: Esto funciona, por ejemplo, para $F=\mathbb{Q}_2(\zeta_3,\zeta_8)$, por lo que esta debe ser la única solución... no estoy seguro de cómo probar que si. Por el lema yo he estado usando debe contener $\zeta_3$ y la otra extensión es una de Eisenstein polinomio de orden 4.

f=1: F es una totalmente ramificado, de extensión, de modo que se trata de que se adhiere a la raíz de un Eisensteinpolynomial. ¿Cómo puedo obtener una contradicción aquí?

Answer 1

No estoy seguro de seguir su intento de solución. Sin embargo, aquí es cómo iba a proceder: Si $K$ es un campo de característica no es igual a $2$, entonces cada cuadrática extensión de $K$ es de la forma $K(\sqrt{a})$ algunos $a$. (Recordemos que $\mathbb{Q}_2$ tiene de característica cero, no dos, por lo que esta es pertinente.) Si $\mathrm{Gal}(L/K) \cong (\mathbb{Z}/2)^3$, $L$ debe ser el compositum de tres distintos cuadrática extensiones de $K$. Así que usted debe estar tratando de encontrar $a$, $b$ y $c$ $\mathbb{Q}_2$ tal que $\mathbb{Q}_2(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})$ es un grado $8$ de extensión.

Como un calentamiento, que los elementos de $\mathbb{Q}_2$ son cuadrados?

Answer 2

Usted puede probar que $\mathbb{Q}_2$ tiene exactamente tres cuadrática extensiones que cualquier uno de ellos es disjunta de la compositum de los otros dos. Más precisamente, se puede demostrar que $\mathbb{Q}_2^\times/(\mathbb{Q}_2^\times)^2\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Eso será suficiente, porque, como dijo David en su respuesta, coset representantes de $\mathbb{Q}_2^\times/(\mathbb{Q}_2^\times)^2$ están en bijection con cuadrática extensiones de $\mathbb{Q}_2$.

Para demostrar la supuesta isomorfismo, anote todo lo que usted sabe acerca de la estructura del grupo de $\mathbb{Q}_2^\times$.

Como un ejercicio, es posible que desee repetir para $\mathbb{Q}_p$, $p$ impar.