expresiones cerradas para el producto de 3n+k donde k = 1 o 2

Question

Hay algunos fáciles de productos que puede ser escrita en la forma cerrada en términos de factoriales:

$ 2 \times 4 \times 6 \times ... 2n = n! \times 2^n$

$ 1 \times 3 \times 5 \times ... (2n-1) = {{(2n)!} \over {n! \times 2^n}}$

$ 3 \times 6 \times 9 \times ... 3n = n! \times 3^n$

Pero, ¿qué acerca de estos?

$ f_2(n) = 2 \times 5 \times 8 \times ... (3n+2)$

$ f_1(n) = 1 \times 4 \times 7 \times ... (3n+1)$

Wolfram Alpha nos da algunas expresiones para los productos parciales en términos de funciones gamma, pero ¿hay alguna forma de usar factoriales en su lugar?

Answer 1

En el espíritu de la doble factorial, donde $n!!=n(n-2)(n-4)\ldots $ terminando en $1$ o $2$, la misma página, en multifactorials sugiere $n!!!$ y algunas otras notaciones para lo que usted desea. Pero, al igual que el doble factorial, estos son sólo comentarios. Son menos comunes, porque las expresiones son menos comunes. Usted puede definir su tercera línea como $f_3(n)=3 \times 6 \times 9 \times ... 3n = n! \times 3^n$, en cuyo caso se $f_1(n)f_2(n)f_3(n)=(3n)!$, pero que no parece muy útil.

Answer 2

La secuencia de $f_1(n)$ se tabularon en http://oeis.org/A007559. Una simple forma cerrada (porque seguramente no lo es), pero bastante agradable asintótica resultado está ahí. Si es que te interesa, entonces estoy seguro de que $f_2(n)$ se tabularon en ese sitio.

Answer 3

Para complementar lhf la suposición de por qué una expresión enteramente en términos de factoriales de argumento entero podría no ser inminente, considere la posibilidad de la multiplicación de Gauss fórmula para el factorial, debidamente especializados:

$$(3n)!=\frac{3^{3n+\frac12}n!\left(n-\frac13\right)!\left(n-\frac23\right)!}{2\pi}$$

Si había alguna otra independiente de la relación entre el$\left(n-\frac13\right)!$$\left(n-\frac23\right)!$, estaríamos en el negocio, pero ya no parece ser cualquiera...