Encontrar $\lim_\limits{n\to \infty}\left({1\over \sqrt{n^2+1}}+{1\over \sqrt{n^2+2}}+\cdots+{1\over \sqrt{n^2+n}}\right)$

Question

Encontrar $\lim_\limits{n\to \infty}\left({1\over \sqrt{n^2+1}}+{1\over \sqrt{n^2+2}}+\cdots+{1\over \sqrt{n^2+n}}\right)$.

Yo sé que está delimitado por $1$. He intentado utilizar el sándwich regla sin éxito. ¿Cómo puedo solucionarlo?

Answer 1

Nota

$$\lim_\limits{n\to \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le\lim_\limits{n\to \infty}\left({1\over \sqrt{n^2+1}}+{1\over \sqrt{n^2+2}}+\cdots+{1\over \sqrt{n^2+n}}\right)\le\lim_\limits{n\to \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$$

Desde $$\lim_\limits{n\to \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\lim_\limits{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1$$ y $$\lim_\limits{n\to \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\lim_\limits{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1$$

tenemos que el límite de la original es $1$ por el sándwich de la regla.