Si nos dan $A = 7 - 3i, B = 4 + 3i$ y supongamos que necesitamos encontrar enteros gaussianos $Q, R$ tal que $A = QB + R$ con $N(R) < N(B)$ y $N(a + bi) = a^2 + b^2$ .
OK, así que hice la división normalmente de la misma manera que hacemos en los números complejos y obtuve $\frac{A}{B} = \frac{19}{25} - \frac{33}{25}i$ ahora he redondeado el $\frac{19}{25}$ a 1 y también he redondeado $\frac{-33}{25}i$ a $-i$ y así $Q = 1 - i$ y luego tengo $R = -2i$ que efectivamente es un entero gaussiano y $N(R) < N(B)$ se satisface.
Sin embargo, estos no son únicos $(Q, R)$ mi pregunta es cuántos $Q, R$ ¿podemos obtener? Supongo que es 4, porque podemos redondear (arriba, arriba), (abajo, abajo), (arriba, abajo), (abajo, arriba). ¿Es eso cierto?
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¡Haz un dibujo! Los cuatro posibles $R$ se diferencian entre sí por $\pm B$ o $\pm iB$ . No todos tienen normas $<N(B)$ . Pero a efectos del algoritmo de Euclides basta con que al menos uno de ellos lo haga. Incluso en el caso de los enteros racionales, a menudo hay dos opciones (que difieren en $B$ ). Convencionalmente se elige el positivo, pero en el caso gaussiano el resto con partes reales+imaginarias no negativas puede ser demasiado grande. Así que en ese caso utilizamos otro.