¿Qué significa el vector de onda de un electrón dentro de un cristal?

Question

Con una onda plana, siempre tomé la dirección del vector de onda, $k$ como la dirección de propagación (magnitud proporcional a la longitud de onda inversa). Alternativamente, podría representar el momento (menos un factor $\hbar$ ) de una partícula.

Sin embargo, dentro de un cristal, el vector de onda de los electrones y la velocidad de los electrones no están necesariamente en la misma dirección. Estoy pensando en un material 2D con una superficie de Fermi cilíndrica donde el momento puede tener una componente z, pero la velocidad de Fermi no. En los casos cotidianos se esperaría que el momento y la velocidad estuvieran en la misma dirección, además consideré que la propogación de la onda estaba en la misma dirección que su análogo de partículas.

Me doy cuenta de que dentro de un cristal los electrones ya no son simples ondas planas, pero ¿qué hace entonces el $k$ ¿vector significa?

Answer 1

K apunta en la dirección de la velocidad de fase (es decir, la normal a las superficies de fase constante, también llamadas frentes de onda). El electrón se mueve en la dirección de la velocidad de grupo (es decir, un electrón localizado estaría formado por un paquete de ondas, y el electrón se mueve cuando se mueve el centro del paquete de ondas). (La fórmula de la velocidad del electrón es la misma que la fórmula habitual de la velocidad de grupo: $\nabla_k \omega(k) = \nabla_k E(k)/\hbar$ .)

Su pregunta se puede reformular: "¿Por qué la velocidad de fase no es paralela a la velocidad de grupo?" O más generalmente: "¿Por qué la velocidad de fase es diferente de la velocidad de grupo?" La respuesta a esta última pregunta (tanto desde el punto de vista matemático como intuitivo) se puede encontrar en casi cualquier libro de introducción a la física que defina y discuta el concepto de velocidad de grupo.

En una dimensión, por supuesto, la velocidad de grupo y la velocidad de fase tienen que ser paralelas, pero en 2D o 3D, siempre que las ondas se propaguen con una relación de dispersión no esférica, la velocidad de grupo y la velocidad de fase suelen apuntar en direcciones diferentes. Así que esto también ocurre con las ondas de luz en los cristales, con las ondas de sonido en los cristales, con las ondas de sonido en las rocas sedimentarias, etc.

Answer 2

La conservación del momento se produce debido a la invariancia de traslación espacial. De forma similar, en la mecánica cuántica tenemos números cuánticos que corresponden a los valores propios de los operadores que conmutan con el hamiltoniano. Para un cristal, nuestro hamiltoniano sólo tiene invariancia de traslación discreta (todo se ve igual sólo si se mueve todo el sistema por un vector de celosía de Bravais). Este operador de traslación discreto está bien definido, y sus valores propios no corresponden a las excitaciones elementales de un líquido de Fermi, sino que la base de una sola partícula estados en el espacio de Fourier.

(Lo cual no quiere decir que no exista la misma física cuando se va a un líquido de Fermi, sólo que no viene al caso. El "momento cristalino" sólo tiene que ver con el seguimiento de la simetría de traslación del entorno en el que una onda intenta propagarse).

En cuanto a lo que esto significa para el electrón movimiento Steve B da una buena respuesta

Answer 3

Parece que ya entiendes, que el vector de onda de un "electrón" cuasipartícula en un cristal (o en cualquier potencial periódico) no es lo mismo que el momento real del electrón "real". Así que ahora estás cuestionando el "significado" del propio concepto de cuasipartícula. Y espero que ya sepas que los "significados" de muchas cosas en la mecánica cuántica son bastante elusivos.

De todos modos, intentaré decir algo que espero que tenga sentido. En primer lugar el vector de onda $k$ se llama " un impulso de cristal " o "quasimomentum" de su cuasipartícula. El significado básico de esa cantidad es el "número" de nivel de energía en el espectro de excitaciones elementales de su sistema. Puedes pensar en ello como un índice (continuo) $k$ que cifra su nivel de energía $E_k$ . En realidad, se puede considerar el impulso "ordinario" desde el mismo punto de vista: sólo un "índice" que denota su estado en el espectro continuo.

En segundo lugar, muchos problemas de la mecánica cuántica se formulan en términos de problemas de dispersión: se prepara un estado inicial y se tiene que calcular la probabilidad de algún estado final. Así, preparamos un grupo de cuasipartículas en un estado inicial $i =(E_{k_1},E_{k_2},...,E_{k_n})$ y observar una transición a un estado final con otro conjunto de cuasipartículas $f =(E_{q_1},E_{q_2},...,E_{q_m})$ . Resulta que en muchos casos es una muy buena aproximación, afirmar que las transiciones ocurren sólo cuando el cuasimomento se conserva: $$P(i\to f) \sim \delta(k_1+k_2+...+k_n - q_1-q_2-...-q_m) $$ La afirmación es absolutamente correcta para las partículas "ordinarias": refleja la conservación habitual del momento. Y para las cuasipartículas la afirmación es sólo una aproximación. Así que tenemos la conservación (aproximada) del cuasimomento.

Finalmente -- a menudo la dependencia de la energía de su cuasipartícula en el cuasimomento es cuadrática o cercana a la cuadrática: $E_k \simeq Ak^2$ . Eso te permite reescribirlo de forma familiar: $E_k \simeq \frac{\hbar^2k^2}{2m^*}$ -- por lo que parece una energía de una partícula libre "ordinaria" con una masa $m^*$ . Y esa masa se llama "masa efectiva".

Todas estas similitudes nos permiten hablar de las cuasipartículas como si fueran partículas libres con algunas masas, que vuelan libremente por el interior de su cuerpo sólido, colisionando a veces entre sí. Esta imagen resulta muy útil.