Hay $n$ polinomios simétricos en los valores propios de una matriz cuadrada. Dos de ellos son el determinante y la traza, cada uno de los cuales tiene innumerables aplicaciones e interpretaciones en álgebra y geometría.
¿Y los demás polinomios simétricos? También son invariantes de similitud, pero nunca he visto que se utilicen o se haga referencia a ellos. ¿Existen interpretaciones geométricas, o aplicaciones, para estos otros invariantes?
La traza y el determinante son los invariantes más útiles porque la traza es aditiva y el determinante es multiplicativo. Los demás coeficientes del polinomio característico no lo son. El determinante también tiene una clara interpretación geométrica. Además, todos los coeficientes del polinomio característico de un operador $T$ puede calcularse a partir de las trazas de los operadores $T^n$ Esta es una de las razones por las que no es tan sorprendente que los rastros de los elementos de grupo en las representaciones de grupo lleven mucha información.
Esto no quiere decir que la gente nunca utilice las otras invariantes, aunque no suelen tener nombres especiales. Por ejemplo, tengo entendido que la Forma de matar en la teoría de Lie, una herramienta importante, se descubrió jugando con los polinomios característicos. Y la construcción subyacente a los coeficientes del polinomio característico, el álgebra exterior es enormemente útil.
Creo que estás pensando en los coeficientes del polinomio característico -la traza y el determinante son los "extremos". Véase, por ejemplo http://alert.comule.com/?p=7741 y https://mathoverflow.net/questions/33478/geometric-interpretation-of-characteristic-polynomial
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