$$(\omega + 2) \omega = \omega^2$$
Por definición de ordinal multiplicación,
$$(\omega + 2)\omega = \sup \{ (\omega + 2)n : n \in \omega \}$$
Ahora, $$(\omega + 2) 2 = (\omega + 2) 1 + (\omega + 2) = \omega + \underbrace{2 + \omega}_{\omega} + 2 = \omega + \omega + 2 = \omega2 + 2$$
$$(\omega + 2)3 = (\omega+2)2 + (\omega+2) = (\omega2+2) + (\omega+2) = \omega3+2$$
De manera inductiva, se puede demostrar que los $(\omega + 2)n = \omega n + 2$.
Es decir, $$(\omega + 2) \omega = \sup \{ \omega n + 2 : n \in \omega \}$$
Esto es $\omega^2$. De hecho, todos los $\omega n + 2 \leq \omega^2$, mientras que para los $\alpha < \omega^2$ podemos expresar $\alpha = \omega n + m$ (ver abajo) y, a continuación, $\omega (n+1) + 2$ es mayor.
¿Por qué es la primera respuesta incorrecta?
La primera respuesta es errónea porque se puede "perder la limitación de las colas". Por ejemplo, $\sup \{ n + 1 : n \in \omega \}$ $\omega$ que no es un sucesor, pero cada una de las $n+1$ es un sucesor. Hemos perdido la cola $1$ tomando el límite. En general, en la toma de sup, se pierde la habilidad para mezclar símbolos a su alrededor en la forma en la que el primer post dijo que se podía: $(\omega + n) + \dots + (\omega + n) + \dots$ puede no necesariamente ser manipulados de la misma manera como $(\omega + n) + \dots + (\omega + n)$. De nuevo en el $n+1$ ejemplo, en un camino que coincide con los más de cerca a la primera respuesta,
$$\underbrace{1 + \dots + 1}_{\text{$n$ times}} = (n-1) + 1$$
pero
$$\underbrace{1+\dots + 1}_{\text{$n$ times}} + 1 + 1 + \dots = \omega$$
Hemos perdido la "cola" 1. Ingenuamente, si usted tomó el sup en la forma de la primera respuesta, usted conseguiría $\omega + 1$, lo cual es incorrecto. Los límites pasando a la izquierda de la "cola" 1 gire a pantano de la cola. De hecho, sería de esperar que esto suceda: que usted esperaría el resultado de esta limitación proceso para dar un ordinal límite. Parece inverosímil en tu pregunta original que multiplicar por $\omega$ podría dar un ordinal sucesor.
Apéndice: la justificación de que $\alpha < \omega^2$ puede ser escrito como $\omega n + m$
Esto es por inducción. Es cierto que para $0$, trivialmente. Es cierto que para los sucesores, trivialmente - establecer$m \mapsto m+1$$n \mapsto n$. Es cierto que por los límites $ \lambda < \omega^2$: $\lambda$ es el sup de $\{ \alpha : \alpha < \lambda \}$. Entonces es el sup de $\{ \omega n_{\alpha} + m_{\alpha} : \alpha < \lambda \}$ donde $m_{\alpha}, n_{\alpha} \in \omega$, y el $n_{\alpha}$ $\leq$ $n \in \omega$ porque de lo contrario el sup $\lambda$$\geq \omega^2$. Vamos a dejar de $n$ ser el menos obligado en la $n_{\alpha}$. Yo reclamo que $\lambda$ es en el hecho de $\omega (n+1)$. De hecho, es sin duda $> \omega n$ porque $\omega n + m_{\alpha}$ está en la lista, para algunos $\alpha$; y el es $\leq \omega (n+1)$ porque cada $\omega n_{\alpha} + m_{\alpha} < \omega (n+1)$. Sólo hay un límite ordinal que satisface esas limitaciones, y eso es $\omega (n+1)$.
