Cerrado y las formas Exactas/deRham grupos

Question

Estoy tratando de traducir estos teoremas, a continuación, en teoremas sobre vectores y campos escalares en $\mathbb R^n\setminus\{0\}$, en el caso de $n = 2$.

Primer Teorema:

Deje $A = \mathbb R^n\setminus \{0\}$, $n \ge 1$
a) Si $k$ no es igual a$n-1$, entonces cada cerró $k$-forma en $A$ es exacta en $A$
b) No es cerrado $n-1$forma $\eta_{\text{initial}}$ $A$ eso no es exacto. Si $\eta$ es de puertas cerradas, $n-1$ formulario $A$, entonces no hay una única escalares $c$ s.t. $\eta - c\eta_{\text{initial}}$ no es exacto.

Segundo Teorema:

Deje $A = \mathbb R^n\setminus\{0\}$,$n > 1$. Si $\eta$ es un cerrado $n-1$ formulario $A$, $\eta$ es exacta en $A$ iff la integral de la $\int_{S^{n-1}}\eta = 0$.

Mi versión:

Para el primer teorema, tenemos que trabajar a cabo algunos cálculos, creo, que $\eta$ no está cerrado, con $\eta \ne \sum_{i = 1}^n (-1)^{i-1} f_i\, dx_1 \wedge \cdots \widehat{dx_i} \cdots \wedge dx_n$ con $f_i(x) = x_i/\|x\|^n$.

Para el segundo teorema, que acaba de asumir que $\eta$ es exacta y Stokes teorema de la siguiente manera, pero ¿cómo ayuda respondiendo a la pregunta de arriba?

Answer 1

así que voy a darle una oportunidad. Tenemos $n=2$ (como se escribe en la primera línea), por lo $k$-formas de $k \in \{0,1, 2\}$ entonces.

• $0$formas de $f$ funciones $f\colon \mathbb R^2 \setminus\{0\}$, yo. e. campos escalares.
• $1$formas de $\omega$ corresponden a campos vectoriales $v\colon \mathbb R^2 \setminus \{0\}\to \mathbb R^2$ través $\omega = v_1 dx^1 + v_2 dx^2$.
• $2$formas de $\eta$ correspont para campos escalares $\phi\colon \mathbb R^2\setminus\{0\} \to \mathbb R$ través $\eta = \phi dx^1 \wedge dx^2$.

Ahora queremos determinar cómo el exterior derivada es representado por el anterior isomorphisms. Dado un $0$forma $f$ hemos \begin{align*} df &= \frac{\partial f}{\partial x^1} dx^1 + \frac{\partial f}{\partial x^2} dx^2, \end{align*} por lo $df$ corresponde al campo de vectores $\nabla f$, la costumbre de gradiente.

Dado un campo vectorial $v$ que, como se señaló anteriormente, correnponds a la $1$forma $\omega_v = v_1 dx^1 + v_2 dx^2$. Tenemos \begin{align*} d\omega_v &= dv_1 \wedge dx^1 + dv^2 \wedge dx^2\\ &=\frac{\partial v_1}{\partial x^1} dx^1 \wedge dx^1+ \frac{\partial v_1}{\partial x^2} dx^2 \wedge dx^1 + \frac{\partial v_2}{\partial x^1} dx^1 \wedge dx^2+ \frac{\partial v_2}{\partial x^2} dx^2 \wedge dx^2\\ &= \left(\frac{\partial v_2}{\partial x^1} - \frac{\partial v_1}{\partial x^2}\right) dx^1 \wedge dx^2 \end{align*} por lo $d\omega_v$ correnponds para el campo escalar $\frac{\partial v_2}{\partial x^1} - \frac{\partial v_1}{\partial x^2}$.

Como $\Omega^3(\mathbb R^2\setminus \{0\}) = 0$, $d\eta = 0$ por cada $2$forma $\eta$.

Su primer teorema de lee, a continuación, (la única $k$$k = 2$, ya que se olvidó de excluir $k = 0$ IMO, como no hay exactos $0$-formas que el cero de la forma y las constantes están cerrados): (a) Dado un campo escalar $f \colon \mathbb R^2\setminus\{0\} \to \mathbb R$ (visto como una 2-forma, que es cerrado ya que no hay ninguna $3$-formas), entonces existe un $v\colon \mathbb R^2\setminus\{0\}\to \mathbb R^2$ con $f = \frac{\partial v_2}{\partial x^1} - \frac{\partial v_1}{\partial x^2}$. (b) Hay un $v_{\text{initial}} \colon \mathbb R^2 \setminus \{0\} \to \mathbb R^2$ tal que $\frac{\partial v_{\text{initial},2}}{\partial x^1} - \frac{\partial v_{\text{initial},1}}{\partial x^2}=0$ $v \neq \nabla f$ todos los $f \colon \mathbb R^2\setminus\{0\}\to \mathbb R$. Por otra parte, cada una de las $v\colon \mathbb R^2\setminus\{0\} \to \mathbb R^2$ $\frac{\partial v_2}{\partial x^1} - \frac{\partial v_1}{\partial x^2}=0$ puede entonces escribirse de forma única como $v = c v_{\text{initial}} + \nabla g$ $c\in \mathbb R$ $g \colon \mathbb R^2\setminus\{0\}$ (tenga en cuenta que $g$ no es el único [sólo hasta un constante], sino $\nabla g$!).

¿Desea que el segundo teorema también para $n=2$? Su pregunta no me queda claro en este punto. Si es así, el teorema dice: Dado un $v \colon \mathbb R^2\setminus \{0\} \to \mathbb R^2$ $\frac{\partial v_2}{\partial x^1} - \frac{\partial v_1}{\partial x^2} = 0$ $v$ puede ser escrito como $\nabla f$ algunos $f \colon \mathbb R^2\setminus\{0\} \to \mathbb R$ fib \begin{align*} 0 &= \int_{S^1} \omega_v\\ &= \int_{S^1} v_1dx^1 + v_2dx^2\\ &= \int_0^{2\pi} v_1(\cos \theta, \sin \theta)\sin\theta - v_2(\cos\theta, \sin\theta)\cos\theta\, d\theta \end{align*}