¿Cuáles son el anillo de morfismos $\mathbb{Q}[[X]]\to R$ un anillo de $R$?

Question

Si $\mathbb{Q}[[X]]$ es el anillo de poder de la serie sobre un campo $F$, entonces podemos describir anillo de morfismos $\mathbb{Q}[[X]] \to R$ para los anillos de $R$ en términos simples?

Supongo que un "principio de sustitución" no tendría sentido para la serie, a menos que $R$ tiene una noción de convergencia de la serie.

Answer 1

$\bullet$ Si $R$ no es un $\mathbb{Q}$-espacio vectorial (i.e $R$ no es característico de $0$ o no contiene la fracción de campo de $\mathbb{Z}.1_R$),$Hom(\mathbb{Q}[[X]],R) = \emptyset$ : debido a que una de morfismos $f : \mathbb{Q}[[X]] \rightarrow R$, le da una inyección de $\mathbb{Q} \rightarrow R, \quad x \mapsto f(x)$.

$\bullet$ Si $f : \mathbb{Q}[[X]] \rightarrow R$ no es inyectiva, entonces su núcleo es distinto de cero ideal, por tanto, de la forma $(X^n)$ algunos $n$. Por lo $f$ factor a través de $\mathbb{Q}[X]/X^n$, y el conjunto de $Hom_{Ring}(\mathbb{Q}[X]/X^n,R) = Hom_{\mathbb{Q}-Alg}(\mathbb{Q}[X]/X^n,R)$ es bien conocida.

$\bullet$ Si $f$ es inyectiva, entonces es bastante desagradable (al menos si uno asume axioma de elección). Por ejemplo, tome $\Omega$ algebraica de cierre de $\mathbb{Q}((X))$. Si se sabe que existe un elemento de a $f \in Aut(\Omega/\mathbb{Q}(X))$ tal que $f(\exp(X)) \neq \exp(X)$. Esto produce un morfismos $$\mathbb{Q}[[X]] \rightarrow \Omega, \quad y \mapsto f(x)$$ que envía a $X$ $X$pero es diferente de la natural mapa.