primitiva de una diferencial exacta formulario con propiedades especiales

Question

Estábamos trabajando en un suavizado problema y corrió a través de la aparentemente simple pregunta siguiente: X es un triangular lisa colector de dimensión $n$, e $\alpha$ es una diferencial exacta formulario de grado $n$. Supongamos, además, que su integral se desvanece en cada una de las $n$-simplex.

Es posible encontrar una primitiva $\beta$ $\alpha$ (es decir, $d\beta=\alpha$) tal que $\beta$ se desvanece tangencialmente a la $(n-1)$-esqueleto?

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La última frase significa que, para cualquier vectores $v_1,...,v_{n-1}$ sobre la base de un mismo punto y la tangente a una $(n-1)$-simplex, tenemos $\beta(v_1,...,v_{n-1})=0$.

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Lo que ya sabemos : tomar cualquier primitiva $\beta$$\alpha$, entonces, por stokes integral, en el límite de cada una de las $n$-simplex es cero. Sin embargo, su integral en cada una de las $(n-1)$-simplex es a priori no es cero. Lema 2 p.165 de la Cantante-Thorpe (Springer edición) implica que $\beta$ puede ser encontrado para tener la integral de 0 en cada una de las $(n-1)$-simplex. Pero ¿podemos encontrar $\beta$ a ser uniformemente a cero tangencialmente a los simplices?

Sabemos cómo probar si reemplazamos la triangulación por un "dulce" cúbico " complexe.

Answer 1

Creo que la respuesta puede depender de cómo se interprete la pregunta. Permítanme mostrarles que la respuesta es negativa para una de las interpretaciones ya en el caso de $2$-dimensiones de los colectores. Que el estudio de la cuestión a nivel local en un barrio de un vértice de la triangulación, por lo que la condición de la integral sobre la $n$-simplexes no juega ningún papel. La obstrucción de la existencia de $\beta$ viene de los locales comportamiento de las curvas en un vértice.

Lema. Deje $\alpha=dx\wedge dy$$\mathbb R^2$. Para $n\ge 8$ existe $\gamma_1,...,\gamma_n$, suave rayos en $\mathbb R^2$ que $0$ con diferentes vectores de tangentes y tal que no es $\beta$ definido en cualquier barrio de 0 con $d\beta=\alpha$ y de fuga se ha limitado a $\gamma_i$.

Está claro que este lema implica la respuesta negativa a una versión de la cuestión, cuando no se nos permite deformar la triangulación.

La prueba del Lema. Supongamos por contradicción que $\beta$ existe. A continuación, $\beta_1=\beta-\frac{1}{2}(xdy-ydx)$ es un cerrado de 1-forma. Así que podemos escribir la $\beta_1=dF$ donde $F$ es una función definida en una vecindad de $0$, $F(0)=0$. Dado que el número de $n$ de los rayos más de $2$, $dF$ debe desaparecer en cero. Por otra parte, no es difícil de ver, ya que el número de rayos es más que $4$, el término cuadrático de $F$ se desvanece en cero.

Ahora, desde la $\beta$ se desvanece en $\gamma_i$, el restiction de $\beta_1$ $\gamma_i$es igual a $\frac{1}{2}(ydx-xdy)$. Así, obtenemos la fórmula para $F$, resticted a $\gamma_i$ $$F=\frac{1}{2}\int_{\gamma_i}ydx-xdy.$$ Ahora, se elegirán los rayos $\gamma_1,...,\gamma_8$. Es decir,$\gamma_1(t)=(t,t^2)$, $\gamma_2(t)=(t,t-t^2)$, y tome $\gamma_3,...,\gamma_8$ por consecutivamente rotación $\gamma_1,\gamma_2$ por $\pi/2$, $\pi$, $3\pi/2$.

No es difícil ver, que $F$ es cúbico modulo superior en términos de $t$ cuando está restringido a $\gamma_i$. Al mismo tiempo, $F$ es positivo en $\gamma_{1},\gamma_3,\gamma_5, \gamma_7$ y negativo restringido a otros rayos. Así que cambia su signo, al menos $8$ veces en un pequeño círculo alrededor de la $0$. Esto es imposible para un cúbicos Función (en un pequeño barrio de la cúbico plazo de $F$ debe ser dominante). Contradicción.