Symmetrize vectores propios de los degenerados (se repite) autovalor

Question

Tengo la siguiente situación: Tengo un hermitian Matriz $A$ que satisface algunas simetrías que puedo expresar a través de $AS = SA$ por una matriz unitaria $S$. Ahora estoy interesado en los vectores propios de a $A$, pero quiero que estos autovectores también el respeto a mi simetrías ( compare con ondas de Bloch en la física, donde los vectores propios son los elegidos para reflejar la traslación de la invariancia de la rejilla ).

Desde $A$ ha degenerado (se repite) autovalores, el estándar de técnicas numéricas volverá arbitraria (pero ortonormales) los vectores propios que abarcan el espacio propio. Yo, sin embargo, desea obtener resultados únicos y por lo tanto queremos hacer uso de las simetrías. ¿Cómo puedo hacer esto numéricamente? Sé que los desplazamientos de las matrices pueden ser diagonalized simultáneamente - en teoría. Pero no sé cómo hacerlo en la práctica. Tengo que diagonalize uno de ellos, aplicar la central unitaria de transformar así obtenidos para el otro, llegando a un bloque diagonal formulario donde tengo que diagonalize cada bloque por separado? O es que hay algo más elegante que puedo hacer?

EDIT: La matriz es densa, pero muy pequeño (12x12 para 18x18).

La simetría sería algo así como la traducción de simetría: $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

donde cada entrada es un 3x3-bloque en el caso de un 12x12 de la matriz, que se ve algo como $\begin{pmatrix} a & b & 0 & -b\\ b&a&b&0\\ 0&b&a&b\\ -b&0&b&a\end{pmatrix}$

Answer 1

Creo que he resuelto: Si las matrices de $A$ $S$ conmutan, es decir,$AS = SA$, luego me subespacios propios de una matriz son invariantes bajo la otra matriz, porque si $Ax = \lambda x$, luego $A Sx = SAx = S\lambda x$, por lo que si $x$ es autovector de a $A$ con autovalor $\lambda$, entonces también lo es $S\lambda x$.

Esto en mente, yo elija una de las matrices y diagonalize, decir que yo elija $S$. Luego me $S = T D T^\top$ $T$ ser unitaria y $D$ diagonal. Si yo uso $T$ a transformar $A$, me sale $A' = T A T^\top$ es de bloque diagonal, debido a la invariancia se mencionó anteriormente.

Puedo entonces diagonalize cada bloque de $A$ por su cuenta, porque de esa manera, la resultante de los vectores propios de a $A$ permanecerá vectores propios de a $S$. De esa manera, he simultáneamente diagonalized $A$. Lo bueno es que esto puede ayudar a hacer que la resultante de los vectores propios único, porque ahora los vectores propios se caracteriza no solo por su $A$-autovalor de la matriz, sino también por su $S$-autovalor de la matriz.

Si eso no es suficiente, podría buscar más simetrías que todos simultáneamente conmuta con cada uno de los otros. Un ejemplo de la mecánica cuántica es el átomo de hidrógeno, donde uno encuentra que el Hamiltoniano desplazamientos con el módulo del momento angular y su componente z, que en última instancia, da lugar a los tres números cuánticos n, l y m.

Answer 2

La solución de Lagerbaer ha sido probado y me presente la los resultados obtenidos por sympy :

    (A)
    [0  1  1]
    [       ]
    [1  0  1]
    [       ]
    [1  1  0]
    (S)
    [0  1  0]
    [       ]
    [0  0  1]
    [       ]
    [1  0  0]
    eigenvals of A
    [-1  0   0]
    [         ]
    [0   -1  0]
    [         ]
    [0   0   2]
    eigenvects of A
    [-0.707106781186548  -0.707106781186548  0.577350269189626]
    [                                                         ]
    [0.707106781186548           0           0.577350269189626]
    [                                                         ]
    [        0           0.707106781186548   0.577350269189626]
    T.H.Tadjoint
    [-1.0 + 7.46207733321766e-27*I  0.e-137 + 0.e-140*I   -0.e-134 + 0.e-138*I]
    [                                                                         ]
    [     0.e-137 + 0.e-140*I         -1.0 + 0.e-26*I     -0.e-134 + 0.e-138*I]
    [                                                                         ]
    [    -0.e-126 + 0.e-125*I       -0.e-126 + 0.e-125*I          2.0         ]
    eigenvals after TATadj
    [-1.0   0                 0              ]
    [                                        ]
    [ 0    2.0                0              ]
    [                                        ]
    [ 0     0   -1.0 + 7.46207733321766e-27*I]
    eigenvects after TATadj
    [ 0    0   1.0]
    [             ]
    [1.0   0    0 ]
    [             ]
    [ 0   1.0   0 ]

parece que el método podría funcionar