Encontrar un enlace para $\sum_{n=k}^l \frac{z^n}{n}$

Question

Para $z\in\mathbb{C}$ tal que $|z|=1$ pero $z\neq1$$0<k<l$, estoy tratando de probar que: $$\left|\sum_{n=k}^l \frac{z^n}{n}\right| \leq \frac{4}{k|1-z|}$$ Es más un juego que poco a poco me frustra... tengo

$$\left|\sum_{n=k}^l \frac{z^n}{n}\right|=\left|\frac{1}{l}\frac{1-z^{l+1}}{1-z}-\frac{1}{k}\frac{1-z^k}{1-z}-\sum_{n=k}^{l-1}\left(\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\right)\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)\right|$$

Luego he intentado utilizar el Triángulo de la Desigualdad, una y otra vez, pero en realidad nunca llegamos al punto... ¿tiene usted alguna idea de este punto?

Answer 1

Inicio de $$|1-z|\cdot\left|\sum_{n=k}^l \frac{z^n}{n}\right|=\left|\sum_{n=k}^l\frac{z^n}n-\sum_{n=k+1}^{l+1}\frac{z^n}{n-1}\right|.$$ El plazo para $n=k$ $n=l+1$ puede estar delimitado por $1/k$. Para concluir, el aviso de que $$\left|\sum_{n=k+1}^lz^n\left(\frac 1n-\frac 1{n-1}\right)\right|\leqslant \sum_{n=k+1}^l\left|z^n\left(\frac 1n-\frac 1{n-1}\right)\right|=\sum_{n=k+1}^l\left(\frac 1{n-1}-\frac 1n\right)=\frac 1{k}-\frac 1l\leqslant \frac 1k.$$