Métodos numéricos (para la educación a distancia/PDE), que podría tomar aproximado soluciones/bueno inicial de las conjeturas, y perfeccionar a una cierta precisión

Question

Actualmente estoy jugando con una vieja computadora analógica, que podría resolver dependiente del tiempo de la educación a distancia/Pde bastante rápido, sin tiempo de paso a paso; así que no hay convergencia problemas causados por el tiempo de paso debido a su computación en la naturaleza. Pero el problema con computadora analógica de las soluciones es que ellos no son exactos debido a limitaciones físicas. Soy muy curiosa: ¿hay métodos numéricos/solucionadores de problemas que puede tomar computadora analógica de la solución aproximada (en el dominio del tiempo) para seguir el proceso, y generar una mayor precisión de la solución??

Permítanme darles un ejemplo de la solución de segundo orden ODE describir el movimiento de una masa-resorte amortiguador. La ecuación es la siguiente: $$ x" = -0.2\cdot x' - 0.4\cdot x;\quad x(0)=1, x'(0) =0;\quad t_{stop} = 60. $$ Para resolver la ecuación anterior en una computadora analógica, necesitamos un mapa de la ecuación anterior para un sistema eléctrico. Generalmente una computadora analógica podría realizar varias operaciones aritméticas en el continuo dominio del tiempo, por ejemplo, la suma, la resta, la multiplicación, la integración, etc. La salida de un integrador de representar un estado variable de la educación a distancia, la señal de que el integrador de representar a la correspondiente de la primera orden de tiempo derivativa. Mediante la configuración de la informática básica bloques en los bucles de retroalimentación, podríamos trazar la ecuación como la siguiente: (I uso de Simulink)

Después de cargar las condiciones iniciales en el integradores, puede dejar que la computadora analógica ejecutar y resolver. Si se mide la señal eléctrica a la salida de integrator1, obtendrá la solución de $x(t)$ sobre el dominio del tiempo:

Pero, debido a las limitaciones físicas (por ejemplo, ruido eléctrico, desplazamientos), la solución de $x(t)$ no es exacta. Lo que estoy buscando es un método numérico que puede tomar la solución de $x(t)$ por computadora analógica, por ejemplo, las soluciones de $x(t=1s), x(t=2s), x(t=3s), x(t=4s)... x(t=60s)$, a partir de estas aproximado de la solución de puntos y perfeccionar la solución $x(t=1s), ... x(t=60s)$ a una mucho mayor precisión.

(Este segundo orden de la educación a distancia es un simple caso de la ilustración propósito; se pasa a tener expresión analítica de soluciones. El caso más general sería no lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias con ninguna solución analítica.)

Gracias de antemano!! Todos los pensamientos y sugerencias son más que bienvenidos y apreciados!!

Answer 1

Si usted tiene una buena estimación inicial, el método de Newton es difícil de superar. Cuadrática, la convergencia significa que el número de exacto decimal (binario) lugares se duplica con cada iteración. Esto supone que la primera derivada está cambiando lentamente entre la estimación y la solución real, lo que significa que la segunda derivada veces su error (entre la estimación y la respuesta real) es pequeña en comparación con la primera derivada. Desde el aspecto físico de los argumentos que usted sabe que su solución es un amortiguamiento de la onda sinusoidal, de modo que se ajuste a $A \cos (\omega t) \exp(-\lambda t)$ Lo que usted realmente necesita para el método de Newton es de las estimaciones de $A, \omega, \lambda$, no estimaciones de $y(t)$ que es lo que usted obtiene de su circuito. $A$ es fácil, es $y(0)$. Yo tomaría $\omega$ desde el último cruce por cero podía identificar fácilmente y $\lambda$ a partir de la relación de la primera cima de la puesta en amplitud.

Answer 2

En casi el mismo espíritu que Ross Millikan respuesta, me deja suponer que se conocen las condiciones iniciales $x(0)=1$, $x'(0)=0$ y que el modelo es algo como $$x(t)=e^{-\alpha t} \big(A \cos (\beta t)+B \sin (\beta t)\big)$$ and from data points $(t_i,x_i)$ taken from the analog computer, you want to refine the values of the four parameters $a,B,\alpha,\beta$ que aparecen en el modelo.

Esto puede ser considerado como un problema de regresión no lineal y la cuestión clave es conseguir "razonable", calcula.

La primera condición da $A=1$ y esto es un valor definitivo (que no es más que un parámetro para estar atentos).

Ahora, mirando a los derivados $$x'(t)=e^{-\alpha t} (\cos (\beta t) (\beta B-\alpha)-\sin (\beta t) (\beta +\alpha B))$$ gives $\beta B-\alpha=0$ which means that we can impose $B=\frac{\alpha} {\beta}$.

Todo lo anterior hace que el modelo se $$x(t)=e^{-\alpha t} \left(\frac{\alpha \sin (\beta t)}{\beta }+\cos (\beta t)\right)$$ and we are just left with two parameters $\alpha,\beta$ for which we need estimates. Looking at $$x'(t)=-\frac{\left(\alpha ^2+\beta ^2\right) e^{-\alpha t} \sin (\beta t)}{\beta }$$ we see that the first minimum of $x(t)$ will correspond to $\beta t_*=\pi$; this gives an estimate for $\beta$. At this point, we have $$x(t_*)=-e^{-\frac{\pi \alpha }{\beta }}=-e^{-\alpha t_*}$$ a partir de la cual la estimación de $\alpha$ se extrae fácilmente.

Ahora, tenemos todos los elementos necesarios para iniciar la no lineal de mínimos cuadrados el ajuste de los datos.

Con sólo mirar a la parcela en el post, utilizando el hecho de que el primer mínimo se corresponde más o menos a $t_*=5$, $x=-0.6$, podemos obtener estimaciones de $\beta_0 = \frac{\pi }{5} \approx 0.628319$$\alpha_0= \frac{1}{5} \log \left(\frac{5}{3}\right)\approx 0.102165$, mientras que los valores exactos que debe ser$\beta=\frac{\sqrt{39}}{10}\approx 0.624500$$\alpha=\frac 1 {10}$. La regresión no lineal converge en un par de iteraciones.