Cuántos subconjuntos de un conjunto $\text{A}$ están allí, que contenga, al menos, $9$ elementos, donde el número total de elementos en el conjunto de $\text{A}$$18$ ?
He resuelto mediante la realización de casos de la elección de $9$, $10$, $11$ y así en los elementos de menú y, a continuación, la adición de ellos, yo.e, $$\sum_{r=9}^{18} \dbinom{18}{r} $$
Sin embargo, la respuesta dada en mi libro es $$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{18!}{9! \cdot 9!} + 2^{17}$$
Aunque el valor numérico de mi respuesta y un libro, la respuesta es igual, estoy interesado en saber la intención de la solución de la autora.
El plazo $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{18!}{9! \cdot 9!}$ está dividiendo $18$ elementos en dos partes iguales. El plazo $2^{17}$ es el número total de subconjuntos de un conjunto que contenga $17$ elementos. Pero no puedo conectar estas dos cosas con la pregunta.
Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias.
P. S. Si alguien está interesado en saber cómo me encontré $\displaystyle \sum_{r=9}^{18} \dbinom{18}{r} $ aquí es mi método,
Deje $\text{S} = \displaystyle \sum_{r=9}^{18} \dbinom{18}{r} $
Por El Teorema Del Binomio,
$2^{18} = (1+1)^{18} = \displaystyle \sum_{r=0}^{18} \dbinom{18}{r} $
$\implies 2\text{S} - \dbinom{18}{9} =2^{18} \left( \because \dbinom{18}{r} = \dbinom{18}{18-r}\right)$
y el resto de la siguiente manera.
