Determinar el número de subconjuntos de

Question

Cuántos subconjuntos de un conjunto $\text{A}$ están allí, que contenga, al menos, $9$ elementos, donde el número total de elementos en el conjunto de $\text{A}$$18$ ?

He resuelto mediante la realización de casos de la elección de $9$, $10$, $11$ y así en los elementos de menú y, a continuación, la adición de ellos, yo.e, $$\sum_{r=9}^{18} \dbinom{18}{r}$$

Sin embargo, la respuesta dada en mi libro es $$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{18!}{9! \cdot 9!} + 2^{17}$$

Aunque el valor numérico de mi respuesta y un libro, la respuesta es igual, estoy interesado en saber la intención de la solución de la autora.

El plazo $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{18!}{9! \cdot 9!}$ está dividiendo $18$ elementos en dos partes iguales. El plazo $2^{17}$ es el número total de subconjuntos de un conjunto que contenga $17$ elementos. Pero no puedo conectar estas dos cosas con la pregunta.

Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias.

P. S. Si alguien está interesado en saber cómo me encontré $\displaystyle \sum_{r=9}^{18} \dbinom{18}{r}$ aquí es mi método,

Deje $\text{S} = \displaystyle \sum_{r=9}^{18} \dbinom{18}{r}$

Por El Teorema Del Binomio,

$2^{18} = (1+1)^{18} = \displaystyle \sum_{r=0}^{18} \dbinom{18}{r}$

$\implies 2\text{S} - \dbinom{18}{9} =2^{18} \left( \because \dbinom{18}{r} = \dbinom{18}{18-r}\right)$

y el resto de la siguiente manera.

Answer 1

Si $A$ $18$ elementos, y $B\subseteq A$ tiene menos de $9$ elementos, a continuación, $B^c\subseteq A$ tiene más de nueve elementos. También, si $B$ tiene más de $9$ elementos, a continuación, $B^c$ tiene menos de $9$ elementos. Eso significa que el número de subconjuntos de a $A$ con menos de $9$ elementos es igual al número de subconjuntos de a $A$ con más de $9$ elementos.

Por supuesto, el complemento de un conjunto con $9$ elementos de otro conjunto con $9$ elementos. El número que deseas, el número de subconjuntos de a$A$, con al menos $9$ elementos, es casi la mitad el número de todos los subconjuntos de a $A$. Podemos averiguar lo cerca que casi lo es.

Deje $m$ el número de subconjuntos de a $A$ con más de $9$ elementos, por lo $m$ es también el número de subconjuntos de a $A$ con menos de $9$ elementos. Deje $n$ el número de subconjuntos de a $A$ con exactamente $9$ elementos. A continuación, usted desea encontrar $m+n$, y podemos encontrar desde el número total de subconjuntos de a $A$, lo que vamos a llamar a $t$.

$$\text{(fewer than $9$)+(exactly $9$)+(more than $9$)=(all)}$$ $$m+n+m=t$$ $$\begin{align} m+n&=\frac 12n+\frac 12t \\ &=\frac 12{18 \choose 9}+\frac 12\cdot 2^{18} \\ &=\frac 12 \cdot \frac{18!}{9! \cdot 9!} + 2^{17} \end{align}$$

Answer 2

Bueno, hay $2^{18}$ subconjuntos todo en todos. De estos, $\dfrac{18!}{9!\cdot 9!}$ tienen exactamente $9$ elementos. El resto tienen más de $9$ o menos de $9$. Ahora, por simetría, el número de subconjuntos con más de $9$ elementos es igual al número de subconjuntos con menos de $9$ (par de cada subconjunto con su complemento). Por tanto, el número de subconjuntos con más de $9$ elementos es $\dfrac{1}{2} \times \left(2^{18} - \dfrac{18!}{9!\cdot 9!}\right)$. Sumando el número de subconjuntos con exactamente $9$ elementos da el resultado deseado.