Siempre se puede encontrar un surjective endomorfismo de grupos que no es inyectiva?

Question

Si tomamos el siguiente endomorfismo, $\phi:R[t] \to R[t]$$\sum_{i = 0}^n a_it^i \mapsto \sum_{i = 0}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_{2i} t^i$, es surjective pero no inyectiva. (No sólo elimina los coeficientes impares y empuja todo hacia abajo).

Hay una similar endomorfismo de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$? Si es así, ¿puede dar un ejemplo. De lo contrario, ¿cuáles son las condiciones requeridas para que un surjective endomorfismo a existir, que no es inyectiva.

Answer 1

Si te digo la terminología de la propiedad que usted está estudiando, será muy fácil para usted para buscar ejemplos y contraejemplos. Un grupo de $G$ de manera tal que cada surjective homomorphism $f: G \rightarrow G$ es un isomorfismo es Hopfian. Así, por ejemplo wikipedia da una introducción a la Hopfian grupos. Como una regla empírica muy áspera, entre los grupos que son fáciles de escribir, la finitely generadas tienden a ser Hopfian y la no-finitely generadas tienden a no ser.

Algunos ejemplos (ordenado aproximadamente en orden de dificultad):

$\bullet$ A un simple grupo es Hopfian. (Ya se que esto no obedecer la regla de oro!)
$\bullet$ Cualquier grupo finito es Hopfian.

Esto implica: para cada número cardinal $\kappa$ hay una Hopfian grupo de cardinalidad $\kappa$. El grupo eminente teórico de Gilbert Baumslag reivindicada en una 1962 papel que para cada número cardinal $\kappa$ hay una Hopfian abelian grupo de cardinalidad $\kappa$. Sin embargo, en 1963, anunció que su prueba era incorrecta, y al parecer el problema sigue abierto.

$\bullet$ Un finitely generado abelian grupo, o mejor dicho, de cualquier Noetherian $\mathbb{Z}$-módulo -- es Hopfian.
$\bullet$ El grupo aditivo $(\mathbb{Q},+)$ de los números racionales es Hopfian. (En contra de la regla de oro!)
$\bullet$ Un grupo libre es Hopfian iff es finitely generado.
$\bullet$ Para cualquier grupo no trivial $G$, $\bigoplus_{i=1}^{\infty} G$ no es Hopfian.
$\bullet$ , En particular, el grupo aditivo $(\mathbb{R},+)$ de los números reales no es Hopfian.
$\bullet$ Un finitely generado residual finito grupo es Hopfian.
$\bullet$ El Baumslag-Solitar grupo $B(2,3) = \langle x,y \ | \ y x^2 y^{-1} = x^3 \rangle$ no es Hopfian.

Uno puede asimismo definir Hopfian y co-Hopfian objetos en una categoría arbitraria. Por ejemplo, Hopfian $R$-módulos aparecen en la (breve) $\S 3.8.2$ de estas notas, en el que se hace constar que para cualquier anillo conmutativo $R$, cada finitely generadas $R$-módulo es Hopfian. (Como se mencionó anteriormente, este es casi trivial para Noetherian $R$-módulos, por lo tanto para finitely módulos generados a través de una Noetherian anillo.)

Answer 2

Este es el mismo como el requisito de que un grupo isomorfo a un cociente de sí mismo mediante un adecuado subgrupo normal. Para $\mathbb Z$ esto es imposible, y una manera de ver que es de notar que todos los coeficientes de $\mathbb Z$ son finitos. En el caso de $R[t]$, como de un grupo es isomorfo a $R\oplus R\oplus R\oplus \cdots$, y un simple surjective pero no inyectiva homomorphism es $(a_0,a_1,a_2,\ldots)\mapsto (a_1,a_2,a_3,\ldots)$. En términos de polinomios, esto es el mapa $p(t)\mapsto \frac{p(t)-p(0)}{t}$.