Cohomología de grupos cíclicos finitos

Question

Me he atascado en lo siguiente:

Dejemos que $G$ sea un grupo cíclico finito. Entonces es un hecho bien conocido que se pueden calcular sus grupos de Tate-cohomología a partir del complejo $$\cdots\xrightarrow{\;\tau \;-\;\text{Id} \;}M \xrightarrow{\;\;Tr_{G}\;\;} M \xrightarrow{\;\tau \;-\;\text{Id} \;} M \xrightarrow{\;\;Tr_G\;\;} M \xrightarrow{\;\tau \;-\;\text{Id} \;}\cdots $$ donde $\tau$ es la multiplicación por algún generador de $G$ y $Tr_G(x)= \sum_{g \in G} gx$ .

¿Puedes decirme por qué esto define una resolución acíclica de nuestro módulo? No veo por qué este complejo tiene que calcular necesariamente los grupos de cohomología.

Answer 1

No define una resolución acíclica (al menos, a menos que $M$ es acíclico). Pero se puede demostrar que los grupos de cohomología que surgen de ese complejo son isomorfos a los habituales como sigue:

Lo que sigue es del capítulo VIII, $\S$ 4 de Serre Campos locales (Aunque he cambiado un poco la notación para adaptarla a la tuya):

Definir un complejo de cadena de coordenadas $K$ de la siguiente manera: $K^i=\mathbb{Z}[G]$ para todos $i$ , $d:K^i\to K^{i+1}$ es $(\tau - \text{Id})$ si $i$ es par y $Tr_G$ si $i$ es impar. Para cada $G$ -Módulo $A$ , poned $K(A)=K\otimes_{\mathbb{Z}[G]}A$ . Entonces $K^i(A)=A$ para todos $i$ con los mapas inducidos siendo los mismos. Una secuencia exacta $0\to A\to B\to C\to 0$ da lugar a una secuencia exacta de complejos $0\to K(A)\to K(B)\to K(C)\to 0$ por lo que se llega a una secuencia exacta de cohomología y, en particular, a un operador de coordenadas $\delta$ .

Propuesta 6. El functor cohomológico $\{H^q(K(-)),\delta\}$ es isomorfo al functor $\{H^q(G,-),\delta\}$ .

En primer lugar, está claro que $\widehat{H}{}^0(G,A)=H^0(K(A))$ , $\widehat{H}{}^{-1}(G,A)=H^{-1}(K(A))$ y que el operador de coordenadas $\delta$ en relación con $H^0$ a $H^{-1}$ es el mismo. Por lo tanto, $$H^q(K(A))=0$$ para $q=0,-1$ cuando $A$ es relativamente proyectiva, por lo que para todo $q$ (como el $H^q(K(A))$ dependen únicamente de la paridad de $q$ ). Esto es suficiente para dar el isomorfismo.

La última parte es utilizar que un $G$ -es relativamente proyectivo si y sólo si es relativamente inyectivo cuando $G$ es finito, y una caracterización abstracta de los funtores derivados (de los cuales la cohomología de grupos es un ejemplo) - véase la última frase de la sección aquí .