el primer secuencia de demostrar que $p_n\ne 5$

Question

me estaba preparando para la olimpiada, a continuación, tengo esta pregunta

Vamos $$<p_1,p_2,,,,p_n,,,>$$ be a sequence of primes defined by$p_1=2$ and for $n\ge 1$,$p_{n+1}$ is the largest prime factor of $p_1p_2...p_n+1$.Prove that $p_n\ne 5$ for any $$n.

Me puse a $p_2=3,p_3=7$

Creo que la secuencia es el aumento de

Answer 1

Vamos $q_1=2$, $q_{n+1}=1+\prod_{k=1}^np_k$, por lo $p_n$ es el mayor factor principal de $q_n$.

Si $p_n=5$ algunos $n$ $5$ es el mayor factor principal de $q_n$. También sabemos que $n\ge 3$ porque $p_1=2$$p_2=3$. A continuación, $q_n$ no es un múltiplo de a $2$ ni $3$. Por lo tanto, $q_n$ es una potencia de $5$.

Esto implica que $q_n-1$ es un múltiplo de a $4$, pero esto es imposible, porque la $q_n-1$ es un producto de diferentes números primos.

Answer 2

Por los datos de $p_1=2,p_2=3,p_3=7$, Se sigue de inducción que $p_n (n\ge2 )$ es impar. [Por si $p_2,p_3.......p_{n-1}$ son impares, a continuación, $p_1p_2...p_{n-1}+1$también es impar y no 3. Esto también se sigue de inducción].

Por si $p_3=7$ $p_3, p_4,p_{n-1}$ ni $2$ ni $3$ $p_1p_2...p_n+1$ ni es divisible por $3$ ni $2$. Por eso, $p_n$ ni $3$ ni $2$.

Supongamos ahora que $p_n=5$ es el único divisor primo de LHS lo $2p_2...p_{n-1}=5^n-1$. RHS es divisible por $4$ pero LHS no es el que nos da la necesaria contradicción.

Todos tenemos el código fuente llamada de internet, para considerar primero antes de publicar tu problema en el MSE.

Answer 3

Supongamos $p_k=5$ algunos $k>1$. Esto significa que $p_1\cdots p_{k-1}+1=2^a3^b5^c$$c>0$. Desde $p_1=2$ y $p_2=3$, $a=b=0$. Por lo $p_1\cdots p_{k-1}+1=5^c$. Entonces:

$p_1\cdots p_k+1=(5^c-1)5+1=5^{c+1}-4.$

Sin embargo,

$$5^{c+1}-4\equiv 2^{c+1}-1\pmod{3}\equiv 1 \pmod{3}.$$

Por eso, $2^{c}\equiv 1\pmod{3}$. Por lo $c$ debe ser, incluso, por ejemplo,$c=2d$. Un rápido cálculo da $p_3=7$. Sin embargo, $5^{2d}-4\equiv(-3)^d+3\pmod{7}$, lo cual no es equivalente a 1 mod 7.