Acoplamiento Spin-órbita desde el marco del resto de los protones?

Question

Cuando se calcula el spin-órbita de la interacción de un átomo de Hidrógeno acabamos de trabajo en la electrónica del marco de referencia: el protón se mueve y produce un campo magnético que los electrones de spin interactúa con.

Podemos mostrar aquí que la respuesta es $$ \Delta H = \frac{2\mu_B}{\hbar m_e e c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L} \cdot\mathbf{S}$$ where $U(r)$ is the potential energy = $eV(r)$ with $V(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e}{r}$ para un protón.

AHORA: quiero obtener la misma respuesta desde el marco de referencia de los protones, donde el protón es estacionario y el electrón se mueve. Desde la Física deben ser las mismas en todos los marcos de referencia, se debe obtener la misma respuesta.

Supongo que la única manera en que esto puede suceder es que si el electrón del campo magnético (debido a su movimiento, es decir, la partícula cargada moviéndose alrededor) interactúa con los electrones de giro del.

Podemos calcular la densidad de corriente $\mathbf{j}$ de los electrones en el Hidrógeno, y está dada por: $$ j_\phi=-e\frac{\manejadores m}{\mu r\sin\theta}\left|\psi_{nlm}\left(r,\theta,\phi\right)\right|^2 $$ (derivación que se encuentran aquí en la página 6)

Yo podría usar el Biot-Savart ley para calcular el campo magnético debido a esta densidad de corriente: $$\textbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{1}{r^2} \int \textbf{J}d^3\textbf{r}$$ donde la integración debe ser (al menos classicaly) a lo largo del bucle de corriente.

Aquí, me quedo atascado.

¿Alguien sabe cómo conseguir el $\textbf{L}\cdot\textbf{S}$ factor de este enfoque?

Answer 1

El problema aquí es que usted está buscando en el campo magnético de $\textit{at the proton}$. Con este enfoque no se puede derivar el acoplamiento spin-órbita que desee. Debido a la simetría del sistema que usted esperaría de los campos magnéticos en cada una de las partículas tienen la misma magnitud, pero la energía de acoplamiento spin-órbita viene de la $\textit{electron's}$ spin interactuar con el campo magnético. Generalmente auto-interacción no se incluyen en estos cálculos. La cosa importante a tener en cuenta es desde el marco del resto del núcleo no hay ningún campo magnético, debido a que el núcleo, ignorando las aportaciones de los magnética nuclear momento. Realmente está muy muy cerca de la otra parte del espectro del hidrógeno, que es la estructura hiperfina. Habrá otra contribución a la energía del átomo de hidrógeno, debido a que el espín nuclear que interactúan con el campo magnético de los electrones. En el caso de la estructura hiperfina que también necesitan considerar el campo magnético causado por el giro de un electrón $\vec{\mu} \propto \vec{S}$, lo que, una vez combinado con el cálculo está en el medio de hacer, va a ceder a otro la perturbación a la Hamiltoniana $\propto \vec{I} \cdot \vec{J}$. Para resolver el problema creo que sería necesario utilizar la ecuación de Dirac.

Answer 2

Creo que esta es una pregunta muy buena, y que por desgracia no he encontrado dirigido al aprendizaje de estas cosas, y creo que evitando diciendo que necesita la ecuación de Dirac descuida que la pregunta puede ser interpretado de estilo clásico. Así que sí, tenemos la relatividad, pero no debemos necesidad de la mecánica cuántica para comprender este efecto.

Para entender de dónde proviene, lo primero es sustituir el spin de los electrones por un clásico dipolo magnético (porque spin es la mecánica cuántica). Un clásico dipolo magnético es equivalente a una muy pequeña corriente de bucle.

Ahora, usted tendrá que entender un poco de la relatividad especial para el siguiente paso. Todo esto está muy bien explicado en la Wikipedia y en un vídeo de Veritasium. Si usted entiende que usted puede entender esto. En el marco del resto del dipolo (electrón) es normal bucle de corriente. Sin embargo, en el marco del resto de los protones, la contracción de Lorentz hace que la densidad de cargas positivas y negativas en el bucle de alambre para cambiar de tal manera como para causar una red de par de torsión en el protón en el marco del resto, equivalente a la del dipolo (electrones) de marco.

Ahora, de hecho, la ecuación de Dirac es necesaria para explicar lo que realmente sucede en un átomo. Pero, este efecto no necesita ecuación de Dirac a ocurrir, como de hecho sólo se deduce del principio de la relatividad, satisfecho por la mecánica clásica.