Si p(x) es no negativa, cuadrática, polinomial, p(0)=8 y p(8)=0, ¿cuál es p(-4)?

Question

Un polinomio cuadrático $p(x)$ es tal que $p(x)$ nunca toma valores negativos. También, $p(0)=8$$p(8)=0$. ¿Qué sería de $p(-4)$?

He intentado hacer al tomar el valor mínimo como el cero que es el vértice del polinomio en $8$. ¿Cómo hacemos después de encontrar los valores de $a$ $b$ en la forma estándar de la ecuación de $ax^2 + bx + c$ ? Este podría ser hecho en un camino más corto gráficamente?

Answer 1

Desde $p(x)$ es siempre no negativo, y $p(8) = 0$, de ello se desprende que debe ser el vértice. La forma estándar de una parábola es $a(x-h)^2 + k$, y ya sabemos que $(h,k)$$(8,0)$. Que nos da la $p(x) = a(x-8)^2$.

Ahora simplemente enchufe en $p(0) = 8$ conseguir $a = \frac{1}{8}$ encontrar $p$:

$$p(x) = \frac{1}{8}(x-8)^2$$

Así:

$$p(-4) = 18$$

Answer 2

He aquí una manera de resolver esto sin necesidad de tanta matemática idea de Barry respuesta. Si el polinomio es $$p(x) = ax^2 + bx + c,$$ then from $p(0) = 8$ we get $$0a + 0b + c=8,$$ from $p(8) = 0$ we get $$64a + 8b + c = 0,$$ and from $p(x)$ never taking any negative values, it follows that $x=8$ is a minimum, and so $p'(8) = 0$, and since $p'(x) = 2ax + b$, then we get $$16a + b + 0c = 0.$$ This gives three simultaneous equations in three variables, which give the coefficients $$a={1\over 8}, b=-2, c=8.$$